Astronomen zijn voortdurend op zoek naar planeten bij andere sterren
dan de zon. Deze zogenaamde exoplaneten zijn niet zichtbaar met een
telescoop. Ze kunnen ontdekt worden door een tijd lang de lichtsterkte
van een ster te meten. Als deze lichtsterkte niet constant is, dan kan dat
veroorzaakt worden door een exoplaneet die voor de ster langs beweegt
en daarbij het licht van de ster gedeeltelijk tegenhoudt. Zie figuur 1. Deze
figuur is niet op schaal.
Zo is bij de ster met de naam GJ1214 een exoplaneet ontdekt die de
naam GJ1214b heeft gekregen. Er zijn veel verschillende soorten
exoplaneten. Astronomen proberen exoplaneten te ordenen op basis van
een aantal kenmerken. Zo kan ingeschat worden of een exoplaneet op de
aarde lijkt en of er misschien leven mogelijk is. In figuur 2 staan enkele
gegevens van exoplaneet GJ1214b.
De temperatuur aan het oppervlak van de ster is te bepalen door te meten
aan het uitgezonden licht van de ster. Uit deze metingen blijkt dat de
golflengte met de grootste intensiteit ( $\lambda$ max) ligt tussen 9,2 ∙10-7 m en
9,9 .10-7m.
1) Bereken de hoogste temperatuur die het oppervlak van ster GJ1214 kan hebben volgens deze metingen.
Er geldt:
$\lambda _{max}\cdot T= k_{w}$
Daaruit volgt dat de hoogste temperatuur volgt uit de kleinste gemeten waarde voor $\lambda _{max}$ :
$T= \frac{k_{w}}{\lambda _{max}}= \frac{2,898\cdot 10^{-3}}{9,2\cdot 10^{-7}}= 3,2\cdot 10^{3}K$
| inzicht dat de hoogste temperatuur volgt uit de kleinste gemeten waarde voor $\lambda _{max}$ | 1 punt |
| gebruik van $\lambda _{max}T=k_{w}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Door het deels afdekken van het zichtbare oppervlak van de ster neemt
de waargenomen lichtsterkte af. In figuur 3 is de gemeten lichtsterkte van
de ster uitgezet tegen de tijd. Met behulp van deze figuur is de omlooptijd
van de exoplaneet rond de ster te bepalen. In de figuur staan vier pijlen.
2) Welke pijl komt overeen met de omlooptijd van de planeet om de ster?
A pijl A
B pijl B
C pijl C
D pijl D
C (pijl C)
| juiste antwoord | 1 punt |
De oppervlakte van het cirkelvormige aanzicht van de ster is 6,487 ∙ 1016 m2. Uit de diepte van het dal in de lichtsterkte-metingen blijkt dat 1,50% hiervan is afgedekt door het cirkelvormige aanzicht van de planeet. Hiermee konden astronomen berekenen dat de straal van deze planeet 2,76 keer zo groot is als de straal van de aarde
( raarde = 6,371 ∙ 106 m ).
3) Toon dit met een berekening aan.
Voor de oppervlakte van het cirkelvormige aanzicht van de planeet geldt:
$A_{GJ1214b}= 0,0150\cdot 6,487\cdot 10^{16}=9,731\cdot 10^{14}m^{2}$
Hieruit volgt voor de straal r van GJ1214b:
$A_{GJ1214b}= \pi r^{2} \rightarrow r_{GJ1214b}= \sqrt{\frac{A_{GJ1214b}}{\pi }}= \sqrt{\frac{9,731\cdot 10^{14}}{\pi }}= 1,760\cdot 10^{7}m$
Hieruit volgt:
$\frac{r_{GJ1214b}}{r_{aarde}}= \frac{1,760\cdot 10^{7}}{6,371\cdot 10^{6}}= 2,76$
| juist gebruik van de factor 0,0150 | 1 punt |
| gebruik van $A=\pi r^{2}$ | 1 punt |
| inzicht dat $factor=\frac{r_{GJ1214b}}{r_{aarde}}$ en completeren van de berekening | 1 punt |
Om een exoplaneet te kunnen vergelijken met de aarde wordt onder andere de valversnelling g aan het oppervlak van die planeet bepaald. Deze valversnelling hangt af van de massa (M) en de straal (r) van de planeet.
4) Voer de volgende opdrachten uit:
- Leid af dat geldt: $g= \frac{GM}{r^{2}}$
- Bereken de grootte van g voor de planeet GJ1214b. Geef je antwoord in drie significante cijfers.
$F_{z}= F_{g}\rightarrow mg= G\frac{mM}{r^{2}}\rightarrow g= \frac{GM}{r^{2}}$
Er geldt:
$g_{GJ1214b}= \frac{GM_{GJ1214b}}{r_{GJ1214b}^{2}}= \frac{G\cdot 6,50M_{aarde}}{\left ( 2,76r_{aarde} \right )^{2}}$
$\frac{6,674\cdot 10^{-11}\cdot 6,50\cdot 5,972\cdot 10^{24}}{\left ( 2,76\cdot 6,371\cdot 10^{6} \right )^{2}}= 8,38ms^{-2}$
| inzicht dat $mg=G\frac{mM}{r^{2}}$ | 1 punt |
| inzicht dat $g_{GJ1214b}=\frac{G\cdot 6,50M_{aarde}}{\left(2,76r_{aarde}\right)^{2}}$ | 1 punt |
| opzoeken van waardes voor G en Maarde of inzicht $g_{GJ1214b}=\frac{6,50}{2,76^{2}}g_{aarde}$ | 1 punt |
| completeren van de afleiding en de berekening en significantie | 1 punt |
Astronomen zijn op zoek naar exoplaneten die lijken op de rotsachtige aarde. Als de massa en de straal van de planeet GJ1214b bekend zijn, kan de dichtheid van die planeet worden berekend en vergeleken met die van de aarde.
5) Hoe groot is de dichtheid van planeet GJ1214b vergeleken met die van de aarde? Gebruik figuur 2.
A $\rho _{GJ1214b}= \left ( \frac{6,50}{2,76} \right )\cdot \rho _{aarde}$
B $\rho _{GJ1214b}= \left ( \frac{6,50^2{}}{2,76} \right )\cdot \rho _{aarde}$
C $\rho _{GJ1214b}= \left ( \frac{6,50^3{}}{2,76} \right )\cdot \rho _{aarde}$
D $\rho _{GJ1214b}= \left ( \frac{6,50}{2,76^2{}} \right )\cdot \rho _{aarde}$
E $\rho _{GJ1214b}= \left ( \frac{6,50}{2,76^3{}} \right )\cdot \rho _{aarde}$
E
| juiste antwoord | 1 punt |
Astronomen proberen exoplaneten in te delen op basis van hun kenmerken. Uit de bepaling van de dichtheid volgde dat planeet GJ1214b een rotsachtige samenstelling heeft. Een rotsachtige planeet krijgt deindeling ‘superaarde’ als de massa groter is dan de massa van de aarde, maar kleiner dan de massa van de planeet Uranus.
6) Leg met behulp van een berekening, figuur 2 en het informatieboek uit of planeet GJ1214b een superaarde is.
Methode 1
Uit de volgende berekening:
$\frac{M_{Uranus}}{M_{aarde}}= \frac{86,8\cdot 10^{24}}{5,972\cdot 10^{24}}= 14,5$
blijkt dat Uranus 14,5 x zo zwaar is als de aarde. GJ1214b valt met 6,5 Maarde dus binnen de kwalificatie voor superaarde.
| inzicht dat de factor $\frac{M_{Uranus}}{M_{Aarde}}$ berekend moet worden | 1 punt |
| opzoeken MUranus | 1 punt |
| completeren van de berekening en consequente conclusie | 1 punt |
Methode 2
Exoplaneet GJ1214b heeft een massa van 6,50. 5,972.1024 = 38,8.1024 kg. (Dit is groter dan de massa van de aarde). De massa van Uranus is 86,8.1024 kg en daarmee groter dan de massa van GJ1214b. GJ1214b valt dus binnen de kwalificatie voor superaarde.
| inzicht dat de massa van GJ1214b berekend moet worden | 1 punt |
| opzoeken MUranus | 1 punt |
| completeren van de berekening en consequente conclusie | 1 punt |
