Low Earth Orbit (LEO) satellieten worden gebruikt voor onderzoek aan het broeikaseffect. Deze satellieten draaien betrekkelijk laag boven het aardoppervlak. Zie figuur 1. 
De snelheid van een satelliet kan worden berekend met de formule:
$v= \sqrt{\frac{GM}{r}}$ (1)
Hierin is:
- v de snelheid in m s-1
- G de gravitatieconstante in N m2 kg-2
- M de massa van de aarde in kg
- r de baanstraal van de satelliet in m
De totale energie Et van een satelliet is de som van de kinetische energie en de gravitatie-energie. De totale energie van een satelliet kan berekend worden met de formule:
$E_{t}= -\frac{1}{2}G\frac{m M}{r}$ (2)
Hierin is:
- Et de totale energie van de satelliet in J
- G de gravitatieconstante in N m2 kg-2
- m de massa van de satelliet in kg
- M de massa van de aarde in kg
- r de baanstraal van de satelliet in m
1) Leid de formules (1) en (2) af met behulp van formules uit het informatieboek.
Er geldt:
$F_{mpz}= F_{g}$ verder geldt:
$F_{mpz}= \frac{mv^{2}}{r}$ en ook geldt: $F_{g}= G\frac{mM}{r^{2}}$
Invullen en omschrijven levert het volgende op:
$v^{2}= \frac{GM}{r}$
Dus volgt hieruit:
$v= \sqrt{\frac{GM}{r}}$ (1)
Voor het afleiden van formule (2):
$E_{t}= E_{k}+E_{g}$
Er geldt ook:
$E_{k}= \frac{1}{2}mv^{2}$ waarbij v gegeven wordt door formule (1)
$E_{g}= -G\frac{mM}{r}$
Nu kun je gaan invullen:
$E_{t}= \frac{1}{2}G\frac{mM}{r}-G\frac{mM}{r}=- \frac{1}{2}G\frac{mM}{r}$
| inzicht dat $F_{mpz}=F_{g}$ | 1 punt |
| gebruik van $F_{mpz}=\frac{mv^{2}}{r}$ en $F_{g}=G\frac{mM}{r^{2}}$ | 1 punt |
| gebruik van $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ en $E_{g}=-G\frac{mM}{r}$ | 1 punt |
| completeren van de afleidingen | 1 punt |
Een bepaalde LEO-satelliet bevindt zich op een hoogte van 425 km.
2) Toon aan dat deze satelliet een snelheid heeft van 7,658 km s-1.
Voor de snelheid van de satelliet geldt formule (1). Verder kun je de waarden voor G, M en r opzoeken. Let erop dat r gelijk is aan de straal van de aarde plus de hoogte van de satelliet. Invullen in formule (1) levert op:
$v= \sqrt{\frac{6,674\cdot 10^{-11}\cdot 5,972\cdot 10^{24}}{6,371\cdot 10^{6}+425\cdot 10^{3}}}=7,658\cdot 10^{3}\, \textup{ms}^{-1}$
Deze snelheid geldt dus voor de LEO-satelliet op een hoogte van 425 km boven het aardoppervlak.
| gebruik van $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ met opzoeken van G en M | 1 punt |
| inzicht dat $r=R_{aarde}+h$ met opzoeken van Raarde | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Op deze hoogte is de atmosferische wrijving niet helemaal verwaarloosbaar. De dichtheid van de atmosfeer hangt sterk af van de hoogte h boven het aardoppervlak. Het verloop van de dichtheid tussen h = 400 km en h = 450 km is weergegeven in figuur 2.
De satelliet heeft een cw-waarde van 2,2 en een frontaal oppervlak van 0,385 m2.
3) Bepaal de energie die deze satelliet elke seconde verliest ten gevolge van atmosferische wrijving.
Voor het energieverlies per seconde geldt: P = Fv
Het energieverlies wordt veroorzaakt door de wrijving:
$F_{w}= \frac{1}{2}\rho c_{w}Av^{2}$
Combineren van deze formules geeft:
$P= \frac{1}{2}\rho c_{w}Av^{3}$
De dichtheid van de lucht op 425 km hoogte is 2,28·10-12 kg m-3 .
Invullen van de gegevens levert:
$P= \frac{1}{2}\cdot 2,28\cdot 10^{-12}\cdot 2,2\cdot 0,385\cdot \left ( 7,658\cdot 10^{3} \right )^{3}=0,43\, \textup{Js} ^{-1}$
| gebruik van $P=Fv$ | 1 punt |
| gebruik van $F_{w}=\frac{1}{2}pc_{w}Av^{2}$ | 1 punt |
| bepalen van p tussen $2,26\cdot 10^{-12}kg\,\,m^{-3}$ en $2,30\cdot 10^{-12}kg\,\,m^{-3}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
De totale energie uit formule (2) is een functie van r en kun je dus ook noteren als:
$E_{t}\left ( r \right )= -\frac{1}{2}GmMr^{-1}$
4) Voer de volgende opdrachten uit:
a) Geef de afgeleide $\frac{\textup{d}E_{t}}{\textup{d}r}$ door Et(r) te differentiëren.
b) Leg aan de hand van het teken van $\frac{\textup{d}E_{t}}{\textup{d}r}$ uit dat door de wrijving de hoogte van de LEO-satelliet steeds kleiner wordt.
$\frac{dE_{t}}{dr}= \frac{1}{2}GmMr^{-2}$
G , m , M en r zijn positief, dus $\frac{dE_{t}}{dr}$ is positief.
Door wrijving neemt Et af, dus dEt is negatief. Hieruit volgt dat dr negatief is. Dus door de wrijving neemt de hoogte van de satelliet af.
| noteren van de afgeleide van Et(r) | 1 punt |
| inzicht dat door wrijving de totale energie afneemt | 1 punt |
| inzicht dat $\frac{dE_{t}}{dr}$ positief is en dat dr dus hetzelfde teken heeft als dEt | 1 punt |
Als er niet gecorrigeerd zou worden voor het hoogteverlies door de wrijving zou de hoogte van de LEO-satelliet afnemen volgens figuur 3.
Aan het eind van de levensduur van de satelliet wordt er niet meer gecorrigeerd voor het hoogteverlies.
5) Bepaal met behulp van figuur 3 het hoogteverlies per omwenteling om de aarde van de satelliet die zich op een hoogte van 425 km bevindt. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
Het hoogteverlies per dag is gelijk aan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek bij h = 425 km. Tekenen van de raaklijn en bepalen van de helling levert:
$\left ( \frac{\Delta h}{\Delta t} \right )_{raaklijn}= \frac{450,0-399,5}{60,0-7,0}= 0,953\, \textup{kmdag}^{-1}$
De omlooptijd van de satelliet kan berekend worden met:
$v= \frac{2\pi r}{T}$ , hierin is r de straal van de aarde plus de hoogte boven het aardoppervlak.
Invullen en uitwerken levert:
$T= \frac{2\pi \cdot \left ( 6,371\cdot 10^{6}+425\cdot 10^{3} \right )}{7,658\cdot 10^{3}}$
Dit betekent:
$T= 5,576\cdot 10^{3}\, \textup{s}= 6,454\cdot 10^{-2}\, \textup{dag}$
Dus het hoogteverlies per omwenteling is:
0,953·103 ·6,454·10-2 = 61m
| inzicht dat de steilheid van het diagram bij h = 425 km bepaald moet worden | 1 punt |
| gebruik van $v=\frac{2\pi r}{T}$ met $r=R_{aarde}+h$ | 1 punt |
| inzicht dat $\frac{\Delta h}{\Delta t}$ vermenigvuldigd moet worden met de omlooptijd | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
Aan het eind van de levensduur verandert de baansnelheid van de satelliet.
6) Leg met behulp van formule (1) uit of deze baansnelheid steeds kleiner of steeds groter wordt.
Omdat de hoogte h afneemt, neemt ook de straal r af. (G en M zijn constant,) dus volgens de formule $v= \sqrt{\frac{GM}{r}}$ neemt de snelheid toe.
| inzicht dat de straal r afneemt | 1 punt |
| gebruik van formule (1) en consequente conclusie | 1 punt |
