Tess en Fem voeren een practicum uit over warmtestraling waarmee ze de constante van Stefan-Boltzmann gaan bepalen. Ze gebruiken de opstelling zoals weergegeven in figuur 1.
In de opstelling zie je een oven. In de oven is een verwarmingselement aangesloten op gelijkspanning. Zie figuur 2.
Het verwarmingselement bestaat uit een draad van constantaan met een diameter van 4,0∙10-5 m en een lengte van 0,35 m. De spanning wordt ingesteld op 120 V.
1) Bereken het vermogen dat het verwarmingselement direct na inschakelen opneemt.
Voor de doorsnede van de draad geldt (d=2r):
$A= \frac{1}{4}\pi {d}^{2}= \frac{1}{4}\pi \cdot \left ( 4,0\cdot 10^{-5} \right )^{2}= 1,26\cdot 10^{-9}$ m2
Voor de weerstand van de draad geldt dan:
$R= \rho \frac{l}{A}= 0,45\cdot 10^{-6}\cdot \frac{0,35}{1,26\cdot 10^{-9}}= 1,25\cdot 10^{2} \, \Omega$
$\rho$ kun je opzoeken in Binas of Sciencedata.
Voor het opgenomen elektrische vermogen geldt dan (gebruik P=UI en ook U=IR):
$P= \frac{U^{2}}{R}= \frac{120^{2}}{1,25\cdot 10^{2}}= 1,1\cdot 10^{2}\, \textup{W}$
| gebruik van $A=\frac{1}{4}\pi d^{2}$ | 1 punt |
| gebruik van $R=p\frac{l}{A}$ met opzoeken van p | 1 punt |
| inzicht dat $P=\frac{U^{2}}{R}$ / gebruik van $P=UI$ en $U=IR$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
De soortelijke weerstand van metaal is afhankelijk van de temperatuur volgens formule (1):
$\rho _{T}= \rho _{0}\left ( 1+\alpha \left ( T-T_{0} \right ) \right )$
Hierin is:
- $\rho$ T de soortelijke weerstand bij temperatuur T in $\Omega$ m
- $\rho$ 0 de soortelijke weerstand bij kamertemperatuur in $\Omega$ m
- $\alpha$ de weerstandstemperatuurcoëfficiënt in K-1 (te vinden in het informatieboek)
- T de temperatuur in K
- T0 de kamertemperatuur: 293 K
Het elektrisch vermogen dat het verwarmingselement opneemt, is omgekeerd evenredig met de soortelijke weerstand $\rho$ T. Daardoor verandert dit vermogen als de temperatuur toeneemt. Tess en Fem discussiëren over de grootte van de verandering van de soortelijke weerstand als de temperatuur toeneemt van 20 °C naar 300 °C.
Tess beweert dat deze verandering kleiner dan 5% is.
Fem beweert dat deze verandering groter dan 5% is.
2) Leg uit met een berekening wie van beiden gelijk heeft.
De weerstandstemperatuurcoëfficiënt voor constantaan is 0,05∙10-3 K-1 (deze kun je opzoeken).
De factor waarmee $\rho _{0}$ vermenigvuldigd wordt is:
1+ $\alpha$ (T -T0).
Invullen levert 1+ 0,05∙10-3(300 - 20) = 1,014 .
De toename is dus 1,4 %. Deze waarde is kleiner dan 5%. Tess heeft dus gelijk.
| opzoeken van de waarde voor de weerstandstemperatuurcoëfficiënt | 1 punt |
| inzicht dat de factor $1+\alpha\left(T-T_{0}\right)$ / de toename $\alpha\left(T-T_{0}\right)$ berekend moet worden | 1 punt |
| completeren van de berekening en consequente conclusie | 1 punt |
In figuur 3 is de opstelling schematisch in bovenaanzicht getekend.
De temperatuur van de oven kan gevarieerd worden. Midden in de oven is een temperatuursensor geplaatst. De stralingsdetector staat vóór dit geheel. De opstelling is zo afgesteld dat de stralingsdetector de uitgezonden stralingsintensiteit $\frac{P}{A}$ in W m-2 van de oven meet als functie van de temperatuur.
Tess en Fem maken van hun resultaten een grafiek waarin ze $\frac{P}{A}$ uitzetten tegen T4. De grafiek staat in figuur 4. 
3) Voer de volgende opdrachten uit:
a) Toon aan dat het plaatsen van $\frac{P}{A}$ op de verticale as en T4 op de horizontale as theoretisch een rechte lijn door de oorsprong oplevert.
b) Bepaal met behulp van onderstaande figuur de constante van Stefan-Boltzmann die uit deze resultaten volgt. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
a) Een rechte lijn door de oorsprong duidt op een rechtevenredig verband tussen beide grootheden langs de assen. Het verband tussen het stralingsvermogen en de temperatuur wordt gegeven door de wet van Stefan-Boltzmann: $P= \sigma AT^{4}$
Ofwel: $\frac{P}{A}= \sigma T^{4}$
Dus $\frac{P}{A}$ is recht evenredig met T4. De bijbehorende grafiek zal dus een rechte lijn door de oorsprong zijn.
b) De helling van de lijn is gelijk aan de constante van Stefan-Boltzmann $\sigma$ . Dit geeft:
$\sigma = \frac{\Delta \left ( \frac{P}{A} \right )}{\Delta \left ( T^{4} \right )}= \frac{11,6\cdot 10^{3}}{20,0\cdot 10^{10}}= 5,8\cdot 10^{-8}$ Wm-2K-4
| inzicht dat een recht evenredig verband een rechte lijn door de oorsprong oplevert | 1 punt |
| inzicht dat uit de wet van Stefan-Boltzmann volgt dat $\frac{P}{A}$ recht evenredig is met T4 | 1 punt |
| tekenen van een rechte lijn door de oorsprong en passend bij de meetpunten | 1 punt |
| inzicht dat de helling van de lijn gelijk is aan $\sigma $ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
De oven bereikt uiteindelijk een maximale temperatuur van 383 °C.
4) Bereken de golflengte van de straling met de grootste intensiteit die de oven bij die temperatuur uitzendt. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.
Met behulp van de wet van Wien kan de golflengte berekend worden waarbij er sprake is van de maximale stralingsintensiteit bij een temperatuur van 383 °C. Je moet beginnen met het omrekenen van de temperatuur naar Kelvin: 383 °C = 656 K.
Er geldt:
$\lambda _{max}T= k_{w}$
Hierin kun je gaan invullen:
$\lambda _{max}\cdot 656= 2,898\cdot 10^{-3}\rightarrow \lambda _{max}= 4,42\cdot 10^{-6} \, \textup{m}$
| gebruik van $\lambda _{max}T=k_{w}$ | 1 punt |
| omrekenen van $^{\circ}C$ naar K | 1 punt |
| completeren van de berekening en significantie | 1 punt |
Tess en Fem gaan een ander experiment doen: ze houden de temperatuur van de oven constant, maar ze variëren de afstand van de stralingsdetector tot de oven. Ze willen hiermee controleren of in deze situatie de kwadratenwet geldt.
Ze meten hierbij de stralingsintensiteit I die op de stralingsdetector valt als functie van de afstand. Hun meetresultaten staan weergegeven in figuur 5.
5) Toon aan of de kwadratenwet hier geldt. Doe dat aan de hand van de meetresultaten in figuur 5.
Volgens de kwadratenwet is I evenredig met $\frac{1}{x^{2}}$ .
Dat betekent:
$\frac{I_{1}}{I_{2}}= \left (\frac{x_{2}}{x_{1}} \right )^{2}$
Invullen van de eerste en de laatste meting geeft:
$\frac{I_{1}}{I_{2}}= \frac{4810}{620}= 7,76$
Verder geldt:
$\left ( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right )^{2}= \left ( \frac{70}{40} \right )^{2}= 3,1$
Deze verhoudingen zijn niet gelijk, dus de kwadratenwet geldt hier niet.
| inzicht dat de kwadratenwet betekent dat I evenredig is met x-2 | 1 punt |
| inzicht dat de verhouding van twee intensiteitsmetingen berekend moet worden | 1 punt |
| inzicht dat de verhouding van de bijbehorende afstanden berekend moet worden | 1 punt |
| completeren van de berekeningen en consequente conclusie | 1 punt |
