De quantum-dots in een Qled-tv worden met violet licht bestraald.
1) Leg uit waarom gekozen is voor violet licht in plaats van een andere kleur uit het zichtbare spectrum.
De quantum-dot zal altijd een foton uitzenden dat maximaal de energie heeft van het invallende foton. Een violet foton heeft meer energie dan een blauw, groen of rood foton.
| inzicht dat het invallende foton minimaal de energie moet hebben van het uitgezonden foton | 1 punt |
| inzicht dat een violet foton meer energie heeft dan een foton van de genoemde kleuren | 1 punt |
Halfgeleider
Een quantum-dot is gemaakt van een zogenaamd halfgeleidermateriaal. In een halfgeleider kan een elektron slechts in banden van zeer dicht bij elkaar gelegen energieniveaus bestaan. Voor de werking van een quantum-dot zijn slechts twee van deze energiebanden van belang: de valentieband en de geleidingsband. Daartussen zit bij een halfgeleider een energieverschil, de zogeheten bandgap Egap. Zie figuur 3.
Als een foton geabsorbeerd wordt maakt het één elektron vrij uit het atoomrooster. De energie van dat foton moet daarvoor groot genoeg zijn. Het elektron gaat dan van een energieniveau in de valentieband naar een energieniveau in de geleidingsband. Dit betekent dat het loskomt uit het atoomrooster van de halfgeleider. Het achterblijvende gat in de valentieband kan worden opgevat als een positief deeltje dat door het rooster beweegt. Het aangeslagen elektron en het achterblijvende gat worden samen een elektron-gatpaar genoemd. In figuur 4 is van enkele halfgeleiders de bandgap gegeven.
Neem aan dat de fotonenergie van het gebruikte violette licht tussen 2,75 eV en 3,10 eV ligt.
2) Geef in onderstaande tabel voor elke halfgeleider aan of deze op grond van de bandgap geschikt is voor gebruik in een Qled-tv. Licht je antwoord toe.
Gegeven is dat de fotonenergie van het violette licht tussen 2,75 eV en 3,10 eV ligt. De fotonenergie moet groter zijn dan de bandgap. Dus halfgeleiders met een bandgap kleiner dan 2,75 eV zijn geschikt en halfgeleiders met een bandgap groter dan 3,10 eV zijn niet geschikt.
| inzicht dat de bandgap niet groter mag zijn dan de fotonenergie | 1 punt |
| consequent invullen van de tabel | 1 punt |
In goede benadering kunnen elektron en gat van een elektron-gatpaar worden opgevat als vrije deeltjes. Als gevolg van de invloed van het atoomrooster op hun beweging zijn de massa’s van deze deeltjes echter niet gelijk aan de elektronmassa me. Ze krijgen beide een zogenaamde effectieve massa meff. Voor de halfgeleider die wordt gebruikt in een Qled-tv geldt: meff, elektron = 0,13me en meff, gat = 0,45me.
Voor de debroglie-golflengte $\lambda _{B}$ van het elektron of het gat geldt deze formule (1):
$\lambda _{B}= \frac{h}{\sqrt{2m_{eff}E_{k}}}$
Hierin is:
- h de constante van Planck
- meff de effectieve massa
- Ek de kinetische energie
Neem voor de kinetische energie van het elektron 1eV.
3) Voer de volgende opdrachten uit:
a) Leid formule (1) af met behulp van formules uit het informatieboek.
b) Bereken $\lambda _{B}$ van het elektron.
a) Er geldt:
$\lambda _{B}= \frac{h}{p}$
en
$E_{k}= \frac{1}{2}mv^{2}$
en ook:
$p= mv$ en dus $v= \frac{p}{m}$
Dit levert bij invullen in Ek het volgende op:
$E_{k}= \frac{p^{2}}{2m}$
Hieruit kun je p bepalen door om te schrijven:
$p= \sqrt{2mE_{k}}$
Gebruik meff en vul p in in de formule voor $\lambda {_{B}}$ :
$\lambda_{B} = \frac{h}{\sqrt{2m_{eff}E_{k}}}$
b) Nu kunnen de waardes ingevuld worden die al eerder in deze opgave gegeven zijn. Je kunt me opzoeken.
$\lambda _{B}= \frac{h}{\sqrt{2m_{eff}E_{k}}}= \frac{6,6\cdot 10^{-34}}{2\cdot 0,13\cdot 9,1^{-31}\cdot1\cdot 1,6\cdot 10^{-19} }=3\cdot 10^{-9}\, \textup{m}$
| gebruik van $\lambda _{B}=\frac{h}{p}$ en $p=mv$ | 1 punt |
| gebruik van $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ | 1 punt |
| completeren van de afleiding | 1 punt |
| gebruik van $m_{eff}=0,13\cdot m_{e}$ en opzoeken me | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Quantum-dot
In een oneindig grote halfgeleider kan de energie van het elektron-gatpaar Eeg elke waarde hebben boven de bandgap. In een quantum-dot wordt het elektron-gatpaar in een kleine ruimte opgesloten. Daardoor worden de energieniveaus van het elektron-gatpaar gequantiseerd. Hoe kleiner de ruimte, hoe groter de afstand tussen de afzonderlijke energieniveaus. Zie figuur 5.
In een vereenvoudigd model kan de quantum-dot beschouwd worden als een energieput met oneindig hoge wanden. Voor de nulpuntsenergie van een deeltje in deze energieput kan worden uitgegaan van een eendimensionale put, waarvan de lengte L gelijk is aan de straal R van de quantum-dot. De energie Enul in figuur 5 is de som van de nulpuntsenergieën van elektron en gat in deze energieput. Dus Enul = Enul,elektron + Enul,gat. Na zijn ontstaan komt het elektron-gatpaar door wisselwerking met het atoomrooster uiteindelijk in de grondtoestand van de energieput terecht. Als het elektron vervolgens terugvalt in het gat zendt de quantum-dot een foton uit. In figuur 5 is dit schematisch weergegeven.
Voor de energie van het uitgezonden foton Ef geldt formule (2):
$E_{f}= E_{gap}+\frac{C}{R^{2}}$
Hierin is C een constante met de eenheid J m2 , die afhangt van meff, elektron, meff, gat en h.
4) Bereken de waarde van de constante C. Leid hiertoe eerst formule (2) af met behulp van een formule uit het informatieboek en figuur 5.
Voor de nulpuntsenergie van een deeltje in een eendimensionale energieput met oneindig hoge wanden geldt:
$E_{n}= \frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}$
met n=1.
Voor de nulpuntsenergie van de twee (onafhankelijke) deeltjes in de quantum-dot geldt dus:
$E_{nul}= \frac{h^{2}}{8m_{eff, elektron}L^{2}}+\frac{h^{2}}{8m_{eff, gat}L^{2}}$
Hierin is L gelijk aan R.
Voor de fotonenergie geldt Ef = Egap + Enul en dus geldt:
$E_{f}= E_{gap}+\frac{h2}{8m{_{eff, elektron}}R^{2}}+\frac{h^{2}}{8m_{eff, gat}R^{2}}$
Dit betekent:
$E_{f}= E_{gap}+\left ( \frac{h^{2}}{8m_{eff,elektron}} +\frac{h^{2}}{8m_{eff, gat}}\right )\frac{1}{R^{2}}$
Omdat tussen de haakjes constanten staan, kun je dit schrijven als C. Dat vereenvoudigt de formule voor Ef:
$E_{f}= E_{gap}+\frac{C}{R^{2}}$
Hierin is C:
$C= \frac{h^{2}}{8m_{eff, elektron}}+\frac{h^{2}}{8m_{eff, gat}}$
Hiermee is formule (2) afgeleid. Invullen van alle getallen in de formule voor C levert de waarde voor C op.
$C= \frac{h^{2}}{8m_{e}}\left ( \frac{1}{0,13}+\frac{1}{0,45} \right )=\frac{\left ( 6,63\cdot 10^{-34} \right )^{2}}{8\cdot 9,11\cdot 10^{-31}}\left ( \frac{1}{0,13}+\frac{1}{0,45} \right )$
Uitrekenen levert dan op:
$C= 6,0\cdot 10^{-37} \left ( \textup{Jm}^{2} \right )$
| inzicht dat $E_{f}=E_{gap}+E_{nul}$ | 1 punt |
| gebruik van $E_{n}=\frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}$ met n =1en L = R | 1 punt |
| (completeren van de afleiding met het) inzicht dat $C=\frac{h^{2}}{8m_{eff,\,\,elektron}}+\frac{h^{2}}{8m_{eff,\,\,gat}}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Een fabrikant van Qled-tv’s wil quantum-dots selecteren die na bestraling met het violette licht groen licht uitzenden met een golflengte van 534 nm. Door een coördinatentransformatie toe te passen, is van formule (2) een lineaire grafiek gemaakt. Zie figuur 6.
5) Bepaal met behulp van figuur 6 de straal van de quantum-dots die de fabrikant zoekt. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
Voor de fotonenergie geldt:
$E_{f}= \frac{hc}{\lambda }$
Invullen levert:
$E_{f}= \frac{6,63\cdot 10^{-34}\cdot 3,00\cdot 10^{8}}{534\cdot 10^{-9}}= 3,72\cdot 10^{-19}\, \textup{J}$
Dit moet je omrekenen naar eV (elektronvolt) omdat in figuur 6 ook in elektronvolt wordt gewerkt.
$E_{f}= 3,72\cdot 10^{-19}\, \textup{J}= 2,33\, \textup{eV}$
Kijk nu in figuur 6 bij 2,33 eV. Daar hoort bij: R-2=0,17 nm-2
Omrekenen geeft dan:
R2= 5,9 nm2 en hieruit volgt: R= 2,4 nm2
| gebruik van $E_{f}=\frac{hc}{\lambda}$ | 1 punt |
| omrekenen van J naar eV | 1 punt |
| consequent aflezen van $R^{-2}$ in figuur 6 (met een marge van $0,02nm^{-2}$ ) | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
