Bij basketbal scoor je door de bal van bovenaf door een metalen ring te gooien waaraan een netje bevestigd is. Rens en Dyon onderzoeken de beweging van de bal bij een vrije worp. Bij een vrije worp probeert de speler de bal door de ring te gooien terwijl hij achter de ‘vrijeworplijn’ staat. Zie figuur 1. In figuur 2 staat een tabel met een aantal gegevens over basketbal.
Met behulp van een videometing is de beweging van de bal na de worp geanalyseerd. Je kunt de beweging van de bal beschouwen als een combinatie van een horizontale beweging (in de x-richting) en een verticale beweging (in de y-richting). De videometing levert het (x,t)-diagram en het (y,t)-diagram van de beweging van het middelpunt van de bal. Zie de figuren 3a en 3b. Hierin is x de horizontale afstand vanaf de vrijeworplijn en y de hoogte boven de grond. Op t = 0 s verlaat de bal de hand van de speler.
De grootheid snelheid is een vectorgrootheid, net als de grootheid kracht. Je kunt daarom de grootte van de snelheid op dezelfde manier uit haar componenten berekenen als bij kracht.
Figuur 3a en figuur 3b staan hieronder vergroot weergegeven.
1) Bepaal met behulp van de vergrote figuren 3a en 3b de grootte van de snelheid op het moment dat de bal de hand van de speler verlaat. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
Zowel de snelheid in de x-richting als de snelheid in de y-richting kan bepaald worden uit de steilheid van de grafiek. Voor de snelheidscomponent in de x-richting geldt (lees af in de grafiek 3a):
$v_{x }= \frac{\Delta x}{\Delta t}= \frac{4,55-0,35}{1,2}= 3,5\, \textup{ms}^{-1}$
De snelheidscomponent in de y-richting volgt uit de helling van (de raaklijn aan) de grafiek op t = 0 s (trek een raaklijn en lees af in grafiek 3b):
Dit levert:
$v_{y}= \left ( \frac{\Delta y}{\Delta t}\right )_{raaklijn}= \frac{5,0-2,3}{0,41}= 6,6\, \textup{ms}^{-1}$
De componenten van de snelheid kunnen gecombineerd worden met de stelling van Pythagoras (a2+b2=c2) om de totale snelheid te berekenen:
$v= \sqrt{v^{2}_{x}+v^{2}_{y}}= \sqrt{(3,5)^{2}+(6,6)^{2}}= 7,5\, \textup{ms}^{-1}$
| inzicht dat de helling van (de raaklijn aan) de grafiek gelijk is aan de snelheid | 1 punt |
| bepalen van vx (met een marge van $0,2ms^{-1}$ ) en van vy $\left(6,2ms^{-1}\leq v_{y}\leq 7,7ms^{-1}\right)$ | 1 punt |
| inzicht dat $v=\sqrt{(v_{x})^{2}+(v_{y})^{2}}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
In figuur 4 zijn foto’s te zien van een andere vrije worp. Op de linker foto is het begin van de worp te zien, waarbij de speler extra spierkracht begint uit te oefenen op de bal om hem een snelheid te geven. Op de rechter foto is het einde van de worp te zien, waarbij de bal net is losgekomen van de hand van de speler. Bij deze vrije worp verlaat de bal de hand met een snelheid van 7,1 m s-1.
Hieronder is figuur 4 vergroot weergegeven.
2) Voer de volgende opdrachten uit:
a) Bepaal met behulp van de foto’s hierboven en figuur 2 de verplaatsing van de bal tijdens de worp. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
b) Bereken hiermee het gemiddelde van de resulterende kracht op de bal tijdens de worp.
Er zijn meerdere manieren om deze vragen te beantwoorden.
Manier 1:
a) De diameter van de bal is in werkelijkheid 24 cm (dit staat in figuur 2). Je moet s bepalen aan de hand van de schaal van de foto. Dan geldt voor de afstand die de bal aflegt tussen de twee foto’s:
$\frac{s}{0,24\textup{m}}= \frac{15}{13}\rightarrow s= 0,277\, \textup{m}= 0,28\, \textup{m}$
b) Tijdens de worp wordt er arbeid verricht door de resulterende kracht op de bal. Deze arbeid wordt omgezet in kinetische energie van de bal. Er geldt:
$W= \Delta E_{k}$
$W= Fs$
$E_{k}= \frac{1}{2}mv^{2}$
Combineren geeft:
$F_{res}s= \frac{1}{2}mv^{2}_{eind}$
$F_{res}= \frac{mv^{2}_{eind}}{2s}= \frac{0,600\cdot 7,1^{2}}{2\cdot 0,277}= 55\, \textup{N}$
| inzicht dat s bepaald moet worden aan de hand van de schaal van de foto | 1 punt |
| gebruik van $W=Fs$ | 1 punt |
| gebruik van $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en de berekening en significantie van s | 1 punt |
Manier 2:
a) De diameter van de bal is in werkelijkheid 24 cm (dit staat in figuur 2). Je moet s bepalen aan de hand van de schaal van de foto. Dan geldt voor de afstand die de bal aflegt tussen de twee foto’s:
$\frac{s}{0,24\textup{m}}= \frac{15}{13}\rightarrow s= 0,277\, \textup{m}= 0,28\, \textup{m}$
b) De tijd waarin de bal deze afstand aflegt kan worden berekend met
$\Delta t= \frac{s}{v_{gem}}$
$v_{gem}= \frac{1}{2}v_{eind}$
Dit geeft:
$\Delta t= \frac{0,277\, \textup{m}}{\frac{1}{2}\cdot 7,1\, \textup{ms}^{-1}}= 0,0780\, \textup{s}$
De gemiddelde resulterende kracht op de bal wordt gegeven door Fres = ma.
$a_{gem}= \frac{v_{eind}}{\Delta t}$
Hieruit volgt:
$F_{res}= 0,600\cdot \frac{7,1}{0,0780}= 55\, \textup{N}$
| inzicht dat s bepaald moet worden aan de hand van de schaal van de foto | 1 punt |
| gebruik van $F_{res}=ma$ met het inzicht dat $a_{gem}=\frac{v_{eind}}{\Delta t}$ | 1 punt |
| inzicht dat $\Delta t=\frac{s}{v_{gem}}$ , met $v_{gem}=\frac{1}{2}v_{eind}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en de berekening en significantie van s | 1 punt |
Om een beter inzicht te krijgen in de beweging van de bal na de worp, ontwerpen Rens en Dyon een vereenvoudigd model. Dit model is weergegeven in figuur 5. Ook hier is t = 0 s het moment dat de bal de hand van de speler verlaat.
Rens en Dyon laten de computer het model een aantal keren doorrekenen. Rens kiest eerst een aantal keren een andere startwaarde voor vx, zonder die van vy te veranderen. Vervolgens zet hij de waarde van vx terug naar de oorspronkelijke startwaarde. Daarna varieert Dyon een aantal keren de startwaarde van vy, zonder die van vx te veranderen. De resultaten van vijf berekeningen zijn weergegeven in figuur 6.
In het model is ingebouwd dat de berekeningen stoppen als aan twee voorwaarden is voldaan. Deze voorwaarden worden in de instellingen van het programma ingevoerd.
3) Geef de twee voorwaarden zodat het model stopt zoals in figuur 6 is weergegeven.
Het model moet stoppen als de bal van bovenaf de hoogte van de ring bereikt, in figuur 2 staat dat die 3,05 m is. De verticale snelheid moet negatief zijn en de y-waarde moet lager dan 3,05 zijn: y<3,05 en vy<0.
| inzicht dat: $ y<3,05(m)/y\leq 3,05(m)$ | 1 punt |
| inzicht dat: $v_{y}<0\left(ms^{-1}\right)/dy<0\left(m\right)$ | 1 punt |
Bij resultaat C in figuur 6 wordt er gescoord.
4) Leg uit hoe dat blijkt uit figuur 6 in combinatie met figuur 2.
Bij resultaat C eindigt de bal op x = 4,6 m en op y = 3,05 m. Uit figuur 2 blijkt dat daar de ring hangt.
| inzicht dat de hoogtes uit figuur 2 en figuur 6 overeenkomen | 1 punt |
| inzicht dat de horizontale afstanden uit figuur 2 en figuur 6 overeenkomen | 1 punt |
De verschillende resultaten in figuur 6 zijn het gevolg van variaties in de startwaarde van vx door Rens of van variaties in de startwaarde van vy door Dyon. Hieronder staat een tabel.
5) Geef in de tabel hierboven aan voor de resultaten A, B, D en E of de verschuiving ten opzichte van resultaat C een gevolg is van een variatie in de startwaarde van vx of van een variatie in de startwaarde van vy. Licht je antwoord toe.
Als de startwaarde van vy verandert, verandert ook de maximale hoogte die de bal bereikt. Als alleen de startwaarde van vx verandert, blijft de maximale hoogte gelijk. Bij A en E is de maximale hoogte afwijkend ten opzichte van de maximale hoogte van C. Bij A en E is er dus een andere startwaarde van vy dan bij C.
Bij de resultaten B en D is de maximaal bereikte hoogte gelijk aan die bij resultaat C. De horizontaal afgelegde afstand is hier wel anders. Dit betekent dat er sprake moet zijn van een variatie in de startwaarde van vx.
| inzicht dat een constante waarde voor de startwaarde van vy een constante maximale hoogte geeft / inzicht dat een variatie in de startwaarde voor vy een variatie in de hoogte geeft | 1 punt |
| consequente conclusie voor de resultaten A en E | 1 punt |
| consequente conclusie voor de resultaten B en D | 1 punt |
