Pluto is een dwergplaneet in ons zonnestelsel. Om Pluto te onderzoeken werd in januari 2006 de ruimtesonde New Horizons (NH) gelanceerd.
Deze opgave bestaat uit twee delen:
- deel A De reis van NH
- deel B De energievoorziening van NH
Deel A - De reis van NH
In figuur 1 is het traject van de ruimtesonde NH langs banen van planeten in het zonnestelsel weergegeven.
Eén jaar na de lancering kruiste NH de baan van Jupiter. De afstand tussen NH en Jupiter was op dat moment heel klein. Door de aantrekkingskracht van Jupiter boog NH af richting Pluto. Jupiter heeft een omlooptijd van 12 jaar en beweegt in de richting van de pijl. De baan van Jupiter mag als cirkelvormig beschouwd worden. Op de baan zijn 12 posities van Jupiter aangegeven. Zie figuur 1.
1) Geef aan op welke positie Jupiter zich bevond op het moment dat NH vanaf de aarde gelanceerd werd.
Jupiter was op positie 1 toen NH gelanceerd werd. Jupiter heeft een omlooptijd van 12 jaar en in een jaar tijd legt Jupiter daarom een twaalfde deel van de baan af. Omdat Jupiter tegen de klok in beweegt, was Jupiter een jaar geleden op positie 1.
| juiste antwoord | 1 punt |
In juli 2015 was NH in de buurt van Pluto aangekomen. NH had toen een snelheid van 1,2∙104 ms-1. De snelheid van Pluto wordt in deze opgave verwaarloosd.
De ontwerpers van de missie hadden de keuze uit drie opties:
1 NH wordt in een cirkelbaan om Pluto gebracht.
2 NH stort neer op Pluto.
3 NH passeert Pluto en gaat verder de ruimte in.
De ontwerpers hebben berekend welke snelheid nodig was om NH (m = 465 kg) in een baan met een straal van 12,5∙106 m om Pluto te laten cirkelen. Deze snelheid is 2,6∙102 ms-1.
2) Toon dat met een berekening aan.
$F_{g}= F_{mpz}$ als NH in een baan om Pluto cirkelt, dit betekent:
$G\frac{mM}{r^{2}}= \frac{mv^{2}}{r}$
Omschrijven geeft: $v= \sqrt{\frac{GM}{r}}$
Gebruik Binas of Sciencedata om Mpluto en G op te zoeken om daarmee v te berekenen.
Met Binas: $v= \sqrt{\frac{6,674\cdot 10^{-11}\cdot 0,0131\cdot 10^{24}}{12,5\cdot 10^{6}}}= 2,64\cdot 10^{2}\textup{ms}^{-1}$
Met Sciencedata: $v= \sqrt{\frac{6,674\cdot 10^{-11}\cdot 0,0130\cdot 10^{24}}{12,5\cdot 10^{6}}}= 2,63\cdot 10^{2}\, \textup{ms}^{-1}$
(Dit komt overeen met de snelheid die de onderzoekers hebben gevonden.)
| inzicht dat $F_{g}=F_{mpz}$ | 1 punt |
| gebruik van $F_{g}=G\frac{mM}{r^{2}}$ met opzoeken Mpluto en G | 1 punt |
| gebruik van $F_{mpz}=\frac{mv^{2}}{r}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Om NH af te remmen is een raket nodig. Deze raket gebruikt hydrazine als brandstof. De ontwerpers hebben berekend hoeveel hydrazine nodig zou zijn om NH af te remmen van 1,2 ∙ 104 ms-1 tot 2,6 ∙ 102 ms-1. De raketmotor verricht 0,95 MJ arbeid per 1,0 kg gebruikte hydrazine. De ontwerpers concludeerden dat NH veel meer massa aan brandstof nodig zou hebben dan zijn eigen massa van 465 kg.
3) Voer de volgende opdrachten uit:
a) Bereken de massa hydrazine die nodig is om de eigen massa van NH af te remmen.
b) Geef aan waarom in werkelijkheid nog veel meer hydrazine nodig zou zijn om NH af te remmen.
a) Voor de arbeid die de raketmotor moet leveren geldt:
$W_{motor}= \Delta E_{kin}$
$E_{kin}= \frac{1}{2}mv^{2}$
$W_{motor}= \frac{1}{2}m(v_{e}^{2}-v_{b}^{2})= \frac{1}{2}\cdot 465\cdot ((2,6\cdot 10^{2})^{2}-(1,2\cdot 10^{4})^{2})$
Uitrekenen levert Wmotor op:
$W_{motor}= (-)3,35\cdot 10^{10} \, \textup{J}$
Gegeven is dat de raketmotor 0,95 MJ arbeid verricht per 1,0 kg gebruikte hydrazine. Dit betekent dat er berekend kan worden hoeveel hydrazine nodig is om deze arbeid te verrichten.
$\frac{3,35\cdot 10^{10}}{0,95\cdot 10^{6}}= 3,5\cdot 10^{4}\,\textup{ kg hydrazine.}$
b) Door de brandstof is de totale massa bij het begin van het afremmen van NH veel groter dan 465 kg. Dus is er in de praktijk veel meer hydrazine nodig om het afremmen te realiseren.
| inzicht dat $W_{moter}=\Delta E_{kin}$ met $E_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}$ | 1 punt |
| inzicht dat $m_{hydrazine}=\frac{W_{moter}}{0,95\cdot 10^{6}}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
| inzicht dat de totale massa van NH door de brandstof groter is | 1 punt |
De ontwerpers hebben besloten om NH verder de ruimte in te sturen.
Deel B - De energievoorziening van NH
Voor de elektrische apparatuur aan boord van NH is een energiebron nodig. NH gebruikt hiervoor plutonium-238. Deze isotoop zendt alleen α-straling uit.
4) Geef de vergelijking van de vervalreactie van plutonium-238.
$_{94}^{238}\textrm{Pu}\rightarrow \, _{92}^{234}\textrm{U}+\, _{2}^{4}\textrm{He}$
Let erop dat links en rechts het aantal nucleonen gelijk is.
| Pu-238 links en alleen een alfadeeltje als vervaldeeltje rechts van de pijl | 1 punt |
| U rechts van de pijl (mits verkregen via kloppende atoomnummers) | 1 punt |
| aantal nucleonen links en rechts gelijk | 1 punt |
In figuur 2 staat de vervalkromme van plutonium-238 vanaf het moment van lanceren van NH. Op de verticale as staat het resterende percentage plutoniumdeeltjes ten opzichte van de lancering. In het diagram is ook de raaklijn getekend op t = 0.
De ontwerpers moesten de massa van het Pu-238 berekenen waarmee de reactor van NH bij de lancering gevuld moest zijn. Voor de juiste werking moest de activiteit van het plutonium bij de lancering gelijk zijn aan 6,0·1015 Bq. De massa van een Pu-238-deeltje is gelijk aan 3,95∙10-25 kg.
5) Voer de volgende opdrachten uit:
a) Bepaal met behulp van figuur 2 na hoeveel tijd alle Pu-238-deeltjes zouden zijn omgezet als de activiteit vanaf de lancering constant zou zijn. Geef je antwoord in 3 significante cijfers.
b) Bereken de massa van het plutonium waarmee de reactor op het moment van de lancering gevuld moest zijn.
a) Uit het snijpunt van de raaklijn met de horizontale as (als er geen plutoniumdeeltjes meer zijn) blijkt dat het na 120 jaar is.
$\Delta t= 120 \, \textup{jaar}$
$\Delta N= A\cdot \Delta t$
De activiteit bij de lancering is gelijk aan 6,0 ∙ 1015 Bq. Als deze activiteit constant zou zijn over de tijd, zouden alle Pu-238˗deeltjes in 120 jaar volledig zijn omgezet. Hieruit volgt:
$\Delta N= (-)6,0\cdot 10^{15}\cdot (120\cdot 365\cdot 24\cdot 3600)= 2,27\cdot 10^{25}\, \textup{deeltjes}$
120 jaar wordt hierboven omgezet in seconden.
b) 2,27∙1025 deeltjes plutonium komen overeen met een massa van:
$m_{tot}= \Delta N\cdot m_{Pu-238}= 2,27\cdot 10^{25}\cdot 3,95\cdot 10^{-25}= 9,0 \, \textup{kg }$
| aflezen van $\Delta $ t (met een marge van 5 jaar) en significantie | 1 punt |
| inzicht dat $\Delta N=A\cdot\Delta t$ | 1 punt |
| inzicht dat $m_{tot}=\Delta N\cdot m_{Pu-238}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Per vervallende plutoniumkern komt 5,59 MeV energie vrij. Deze energie wordt volledig omgezet in warmte waarmee in een generator elektrische energie wordt opgewekt. Het elektrische vermogen van deze generator is bij de lancering van de missie 248 W. De activiteit van het plutonium bij de lancering is 6,0·1015 Bq.
6) Bereken het rendement van de generator bij de lancering. Geef het antwoord in het juiste aantal significante cijfers.
Het plutonium levert bij de start een vermogen van:
PPu-238 = A · Everval= 6,0 · 1015 · 5,59 ·106·1,60 ·10-19 = 5,37 · 103 W.
Het rendement van de generator is dan:
$\eta = \frac{P_{elektrisch}}{P_{Pu-238}}= \frac{248}{5,37\cdot 10^{3}}= 0,046$
Dit is 4,6%.
| inzicht dat $P_{Pu-238}=A\cdot E_{verval}$ | 1 punt |
| inzicht dat $\eta=\frac{P_{elektrisch}}{P_{Pu-238}}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening en significantie | 1 punt |
Het elektrische vermogen is recht evenredig met de activiteit van het overgebleven plutonium. Voor het goed functioneren van de apparatuur moet de generator minimaal 31 W leveren.
7) Bepaal met behulp van de figuur hieronder hoelang de energiebron van NH kan functioneren. Geef het antwoord in twee significante cijfers.
Er zijn meerdere manieren om dit antwoord te bepalen.
Manier 1:
Uit de grafiek is te bepalen dat de halveringstijd van Pu-238 gelijk is aan 88 jaar (dan is de helft van de plutoniumdeeltjes over). Het vermogen van de generator halveert met het verstrijken van een halveringstijd. Na 3 halveringstijden is het vermogen gedaald tot 31 W (van 248W tot 124W tot 62W tot 31W). Dat is na 3 ∙ 88 = 2,6 ∙ 102 jaar.
| inzicht dat $t_{\frac{1}{2}}$ bepaald moet worden | 1 punt |
| inzicht dat het vermogen van de generator halveert per halveringstijd | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
Manier 2:
Het elektrische vermogen van de energiebron is recht evenredig met de activiteit van de bron en dus het aantal deeltjes in de bron. Als de generator stopt met functioneren (bij 31W) is het vermogen van de bron gedaald tot
$\frac{31}{248}\cdot 100 \, \textup{procent}= 12,5\, \textup{procent}$
van het vermogen van de bron bij het begin. Hieruit volgt dat ook het resterende percentage Pu-238 gelijk is aan 12,5%. Aflezen in de grafiek levert t = 2,6 ∙ 102 jaar.
| inzicht dat Pbron recht evenredig is met het resterende percentage Pu-238 | 1 punt |
| inzicht dat de verhouding $\frac{P_{e}}{P_{b}}$ berekend moet worden | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
