Op 16 oktober 2021 is de ruimtesonde Lucy gelanceerd, zie nu.nl. Deze ruimtesonde gaat richting Jupiter, om daar waarnemingen te verrichten aan rotsblokken die zich voor en achter Jupiter bevinden, de zogenaamde Trojaanse planetoïden. Deze rotsblokken zijn overblijfselen uit de tijd dat ons zonnestelsel, miljarden jaren geleden, ontstond. De sonde moet ons meer leren over de evolutie van ons zonnestelsel.
Jupiter is de grootste planeet van ons zonnestelsel. We gaan ervan uit dat Jupiter een cirkelvormige baan om de zon beschrijft.
a) Bereken de baansnelheid van Jupiter.
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{6,67384\cdot 10^{-11}\cdot 1,989\cdot 10^{30}}{0,7883\cdot 10^{12}}}=1,298\cdot 10^5~\mathrm{ms}^{-1}$
Vlak voor en vlak na Jupiter bevindt zich in dezelfde baan een grote groep rotsen, de Trojaanse planetoïden. De afstand tussen de planetoïden en Jupiter is gelijk aan de afstand tussen Jupiter en de zon. Als we naast Jupiter alleen de zon en één rotsblok beschouwen, zal dat rotsblok met dezelfde baansnelheid in dezelfde baan als Jupiter bewegen.
b) Leg dat uit.
De baansnelheid reken je uit met $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ en hangt alleen af van de massa van de zon en de afstand tot de zon. Dat geldt zowel voor de rotsblokken als voor Jupiter. M en r zijn voor beide gelijk, dus zal de baansnelheid en daarmee ook de baan van de rots gelijk zijn aan die van Jupiter.
Als we naast het rotsblok en de zon ook de invloed van Jupiter meenemen, zullen de rotsblokken niet met dezelfde baansnelheid in dezelfde baan als Jupiter bewegen.
c) Leg dat uit.
Als we de invloed van Jupiter meenemen, werkt er naast de kracht van de zon nog een extra gravitatiekracht op de rots. Hierdoor verandert de nettokracht van richting en van grootte. De baan van de rots zal daardoor anders zijn.
Toch zien we dat de Trojaanse planetoïden dezelfde baan als Jupiter beschrijven. De verklaring hiervoor is dat onze eerste aanname niet klopt. Jupiter beschrijft geen cirkelvormige baan om de zon, maar een ellipsbaan.
Een ellips is een soort uitgerekte cirkel, zie figuur 1. Voor elk punt op de ellips geldt dat de som van de afstanden tot F1 en F2 (aangegeven met x1 en x2) gelijk is. De punten F1 en F2 noemen we de brandpunten.
d) Maak zelf een ellips:
Pak een A4-papier en prik daarin twee punaises.
Maak een touwtje vast aan beide punaises.
Trek met een pen het touwtje strak naar boven en beweeg met de klok mee.
Het touwtje zal altijd even lang zijn, waardoor de pen zich altijd bevindt op een punt waarvoor geldt dat de lengte van het touw gelijk is aan .
Je hebt nu een ellips getekend.
Zie bijvoorbeeld deze animatie:
In figuur 2 zie je de baan van Jupiter (Planeet) aangegeven om de zon. De ellipsvormige baan van de planeet en de rotsblokken hebben we eerder benaderd door een cirkelbaan. Maar in werkelijkheid is het een ellips met de zon in een van de brandpunten. Met de letter T is de plaats van een van de twee groepen rotsblokken aangegeven. De afstand tussen Jupiter en de planetoïden is even groot als de afstand tussen Jupiter en de zon.
e) Bereken hoeveel keer zo groot de gravitatiekracht van de zon op de rotsblokken is, in vergelijking met de gravitatiekracht van Jupiter.
Er geldt:
$\frac{F_{G,zon}}{F_{G,jupiter}}=\frac{M_{zon}}{M_{jupiter}}=\frac{1,989\cdot 10^{30}}{1900\cdot 10^{24}}=1047$
f) Neem figuur 2 over of print hem en teken daarin de gravitatiekrachten van de zon en van Jupiter op de planetoïden. Teken de gravitatiekracht van de zon tien keer zo groot als de gravitatiekracht van Jupiter.
Zie onderstaande figuur:
g) Construeer de resulterende kracht op de planetoïden.
Zie onderstaande figuur:
Bij opdracht f heb je de gravitatiekracht van zon tien keer groter getekend als die van Jupiter. Bij vraag e heb je berekend dat de gravitatiekracht van zon in werkelijkheid nog veel groter is. Indien je dit correct had kunnen construeren, had je gevonden dat de resulterende kracht precies in de richting van het gemeenschappelijk zwaartepunt van de zon en Jupiter stond.
h) Leg nu uit hoe het kan dat de planetoïden dezelfde baan beschreven als Jupiter.
De resulterende kracht wijst naar het zwaartepunt van de zon en Jupiter. Dit is het zelfde punt als waar Jupiter omheen draait. Hierdoor zal de planetoïde dezelfde baan beschrijven als Jupiter.
In 2027 en 2028 zal Lucy waarnemingen doen aan de groep planetoïden voor Jupiter. De sonde komt dan na de waarnemingen terug naar de aarde en vertrekt vervolgens richting de planetoïden achter Jupiter. Daar komt ze in 2033 aan. Ze heeft dan in totaal, sinds de lancering, 6 miljard kilometer afgelegd.
i) Wat was de gemiddelde snelheid van Lucy tijdens haar vlucht?
2033 is ongeveer 12 jaar na de lancering. De gemiddelde snelheid is dan:
$v=\frac{s}{t}=\frac{6\cdot 10^{12}}{12\cdot 365\cdot 24\cdot 3600}=2\cdot 10^4~\mathrm{ms}^{-1}$
Bijzonder aan Lucy is dat ze gebruik maakt van enorme zonnepanelen voor de energievoorziening. Sommige andere sondes maken gebruik van kernenergie.
De baanstraal van Jupiter is ongeveer vijf keer zo groot als die van de aarde. Door de grotere afstand, zal de intensiteit van de zon een stuk kleiner zijn. De zonnepanelen moeten daarom relatief groot zijn.
j) Bereken hoeveel keer zo groot de zonnepanelen moeten zijn om evenveel energie op te kunnen wekken als zonnepanelen op aarde.
De afstand is vijf keer zo groot. Volgens de kwadratenwet is de intensiteit dan 5² = 25 keer zo klein. De zonnepanelen moeten dus 25 keer zo groot zijn.
