Het Amerikaanse ‘Global Positioning System’ (GPS) is een radionavigatiesysteem bestaande uit 24 satellieten die in zes verschillende cirkelbanen op een constante hoogte boven het aardoppervlak draaien. In figuur 1 is een van die satellieten met 6 zonnepanelen weergegeven.
Elke satelliet zendt continu een unieke code van signalen uit.
Drie zonnepanelen hebben samen een lengte van 6,5 m. De zonnestraling die op de zonnepanelen valt heeft een intensiteit van $1,4\cdot10^3\textup{ Wm}^{-2}$ .De gebruikte zonnepanelen hebben een rendement van 12%.
De gegeven intensiteit van de zonnestraling kan berekend worden met behulp van gegevens uit een tabellenboek.
a) Voer de volgende opdrachten uit:
— Geef aan welke formule daarvoor gebruikt moet worden.
— Geef aan welke gegevens daarbij ingevuld moeten worden.
— Gebruikt moet worden de formule: $I=\dfrac{P_\textup{bron}}{4\pi r^2}.$
— Hierbij moet voor Pbron het uitgestraald vermogen van de zon ingevuld worden en voor r de afstand van de satelliet tot de zon.
| noemen van formule $I=\frac{P_{bron}}{4\pi r^{2}}$ | 1 punt |
| inzicht dat Pbron het uitgestraald vermogen van de zon is | 1 punt |
| inzicht dat r de afstand van de satelliet (of van de aarde) tot de zon is | 1 punt |
b) Bepaal het maximale elektrisch vermogen dat de zonnepanelen van een GPS-satelliet kunnen leveren. Maak daartoe eerst een beredeneerde schatting van de oppervlakte van de zonnepanelen.
3 zonnepanelen hebben samen een lengte van 6,5 m. Uit de foto blijkt dat deze lengte ongeveer drie keer zo groot is als de breedte. Dus geldt voor de oppervlakte van 3 zonnepanelen: $A=6,5\cdot\dfrac{6,5}{3}=14\textup{ m}^2.$
Voor het vermogen dat op de twee zonnepanelen valt, geldt (bij loodrechte inval): $P_\textup{stral}=2\cdot14\cdot1,4\cdot10^3=3,9\cdot10^4\textup{ W.}$ ( $P_\textup{stral}=IA$ )
Voor het maximale elektrisch vermogen dat de zonnepanelen leveren geldt dus: $P_\textup{el}=0,12\cdot3,9\cdot10^4=4,7\cdot10^3\textup{ W.}$ (De 0,12 komt van het rendement.)
| beredeneerd schatten van de oppervlakte van drie zonnepanelen tussen 13 en 16 m2 | 1 punt |
| inzicht dat $P_{stral}=IA$ | 1 punt |
| inzicht dat $\eta=\frac{P_{el}}{P_{stral}}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling | 1 punt |
GPS-satellieten cirkelen op een hoogte van $2,018\cdot10^7\textup{ m.}$
c) Bereken de omlooptijd T van een satelliet.
Er geldt: $F_\textup{mpz}=F_\textup{G}\Rightarrow \dfrac{mv^2}{r}=G\dfrac{mM}{r^2}.$
Hieruit volgt: $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{6,6738\cdot10^{-11}\cdot5,972\cdot10^{24}}{6,371\cdot10^6+ 2,018\cdot10^7}}=3,874\cdot10^3\textup{ ms}^{-1}.$ (massa van de Aarde! omdat de satelliet om de Aarde draait. r is in dit geval de straal van de aarde + de hoogte van de satelliet tot het aardoppervlak, omdat r de afstand tussen de 2 zwaartepunten is. G en de massa en straal van Aarde kunnen in een tabellenboek gevonden worden.)
Dus geldt: $T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi \left( 6,371\cdot10^6+2,018\cdot10^7\right)}{3,874\cdot10^3}=43058\textup{ s}=11,96\textup{ h.}$
| inzicht dat $F_{mpz}=F_{G}$ | 1 punt |
| gebruik van $F_{mpz}=\frac{mv^{2}}{r}$ en $F_{G}=G\frac{mM}{r^{2}}$ | 1 punt |
| inzicht dat $T=\frac{2\pi r}{v}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
De atmosfeer absorbeert een deel van de invallende elektromagnetische straling, afhankelijk van de golflengte. Dit is weergegeven in figuur 2.
De satellieten zenden hun codes uit met behulp van elektromagnetische golven uit de zogenaamde L-band. Voor de L-band geldt:
1 GHz < f < 2 GHz.
d) Laat met berekeningen zien dat atmosferische absorptie geen belemmering is voor communicatie in de L-band.
De golflengtes van de L-band liggen tussen $\lambda =\dfrac{c}{f}=\dfrac{3,0\cdot10^8}{2,0\cdot10^9}=0,15\textup{ m}$ en $\lambda = \dfrac{c}{f}= \dfrac{3,0\cdot 18^{8}}{1,0\cdot 10^{9}}= 0,30\, m$
Uit figuur 2 blijkt dat voor deze golflengtes de atmosferische absorptie nul is.
| gebruik van $c=\lambda f$ | 1 punt |
| completeren van de berekeningen | 1 punt |
| vergelijken van de golflengtes met de informatie in figuur 2 | 1 punt |
Een ontvangapparaat op aarde (bijvoorbeeld in een auto) kan uit de ontvangen code de tijdsduur berekenen die het signaal erover gedaan heeft om van de satelliet naar het ontvangapparaat te komen. In een bepaald geval levert dit een tijd: $t=8,03644762\cdot10^{-2}\textup{ s.}$ Hieruit berekent het ontvangapparaat heel nauwkeurig de afstand tot de satelliet. Hieronder staan een aantal ordes van grootte van die nauwkeurigheid.
a 102 m
b 100 m
c 10-2 m
d 10-4 m
e) Welke waarde is de goede? Licht dit toe met een berekening.
Voor de nauwkeurigheid van de tijdmeting geldt: $\Delta t=\pm 5\cdot10^{-11}\textup{ s.}$ (dit kan je afleiden uit het getal $t=8,03644762\cdot10^{-2}\textup{ s.}$ omdat deze met zoveel significant gegeven is)
Dus geldt voor de nauwkeurigheid van de afstandsmeting: $\Delta s=c\Delta t=3,0\cdot10^8\cdot5\cdot10^{-11}=0,015\textup{ m.}$ (alle straling in het elektromagnetisch spectrum gaat met de lichtsnelheid)
Dus c is het goede antwoord.
| inzicht dat voor de nauwkeurigheid in de tijdmeting geldt $\Delta=\underline{+}5\cdot 10^{-11}s$ | 1 punt |
| gebruik s = vt en opzoeken van de lichtsnelheid | 1 punt |
| completeren van de berekening en conclusie | 1 punt |
