Casper doet aan ‘kayak-jumping’. Daarbij wordt een speciale baan gebruikt om een ‘sprong’ te kunnen maken. Deze baan bestaat uit een helling omlaag, daarna een klein horizontaal gedeelte en tenslotte een eindstuk dat schuin omhoog loopt. Zie figuur 1 en 2.
Het beginpunt van de baan ligt 12,0 m boven het wateroppervlak. Het einde van de baan bevindt zich 2,5 m boven het wateroppervlak. Zie figuur 3.
De massa van Casper is 69,0 kg, de massa van de kajak is 14,5 kg. De kajak begint vanuit stilstand.
Veronderstel dat alle wrijving mag worden verwaarloosd.
a) Bereken de snelheid waarmee de kajak de baan verlaat.
Als de wrijving wordt verwaarloosd, geldt dat de afname van de zwaarte-energie gelijk is aan de toename van de bewegingsenergie. Dit is vanwege de wet van behoud van energie. Kies 1 punt waar je alle energie-informatie hebt en 1 waar je iets wilt weten. En gebruik dan de wet van behoud van energie met die 2 punten.
Er geldt dus:
$\frac{1}{2}mv^2=mg\Delta h$ zodat $v=\sqrt{2\cdot9,81\cdot(12,0-2,5)}=14\textup{ ms}^{-1}.$
| inzicht dat de afname van Ez gelijk is aan de toename van Ek | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
In werkelijkheid is er tussen de baan en de kajak uiteraard wel een schuifwrijvingskracht Fw. De luchtweerstand blijven we verwaarlozen.
Zowel de helling als het eindstuk maken een hoek van 42° met het horizontale vlak. Uit een video-analyse blijkt dat de kajak na 2,75 s het laagste punt van de helling bereikt met een snelheid van 13,0 m s-1.
b) Bereken de grootte van Fw op de helling naar beneden.
Er geldt: $F_\textup{res}=ma\textup{ met }a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{13,0}{2,75}=4,73\textup{ ms}^{-2}.$ Dit is de resulterende kracht in dezelfde richting als de helling.
Er geldt: $F_\textup{res}=F_{\textup{z}||}-F_\textup{w}.$ Dus $F_\textup{res}= mg\sin{\alpha}-F_\textup{w}.$ Want Fres is gelijk aan de som van alle krachten. Waarom een sinus? Teken daarvoor in figuur 3 de gegeven 42o hoek tussen helling en het horizontale vlak + de zwaartekracht + de Fz|| -> dan kan je uitzoeken welke cos/sin/tan je nodig hebt.
Uitwerken levert: $F_\textup{w}=m\left(g\sin{\alpha}-a \right)=\left( 69,0+14,5 \right)\left( 9,81 \sin{42^\textup{o}}-4,73\right)=1,5\cdot10^2\textup{ N}.$
| gebruik van $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ | 1 punt |
| inzicht dat $F_{res}=F_{z\left|\right|}-F_{w}$ | 1 punt |
| inzicht dat $F_{z\left|\right|}=mg\:sin\:\alpha $ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Casper maakt een nieuwe sprong. De zwaartekracht Fz en de wrijvingskracht Fw die nu op Casper en zijn kajak werken, zijn op schaal getekend in figuur 4.
c) Bepaal in figuur 4 met een constructie de grootte van de resulterende kracht.
De lengte van de zwaartekrachtvector is 2,5 cm. De wrijvingskrachtvector heeft een lengte van 0,70 cm. De vector van de resulterende kracht heeft een lengte van 1,0 cm.
In b hebben we al bepaald dat $F_\textup{res}=F_{\textup{z}||}-F_\textup{w}.$ Dit gebruiken we nu nogmaals maar nu met een schets. De schets helpt bij krachtenvragen vaak erg goed om inzicht te krijgen in welke krachten je op moet tellen, hoe de hoek zit etc. etc. We raden dan ook aan om altijd een schets te maken bij krachtenvragen.
Er geldt: $F_\textup{z}=mg=\left( 69,0+14,5\right)\cdot9,81=891\textup{ N.}$
De resulterende kracht is $\dfrac{1,0}{2,5}\cdot 819=328\textup{ N}=3,3\cdot10^2\textup{ N.}$
| gebruik van de normaalkracht of de projectie van de zwaartekracht op de baan | 1 punt |
| construeren van de resulterende kracht | 1 punt |
| completeren van de bepaling | 1 punt |
In figuur 5 zijn drie punten aangegeven. De schuifwrijvingskracht in punt 1 wordt vergeleken met die in punt 2 en punt 3. Voor de schuifwrijvingskracht geldt dat deze evenredig is met de normaalkracht.
d) Leg van elk van de schuifwrijvingskrachten in de punten 2 en 3 uit of deze groter, kleiner of gelijk is in vergelijking met de schuifwrijvingskracht in punt 1.
In punt 2 is de wrijvingskracht groter dan, en in punt 3 gelijk aan de wrijvingskracht in punt 1.
(De wrijvingskracht is evenredig met de normaalkracht.) De normaalkracht is gelijk in grootte aan de component van de zwaartekracht loodrecht op de baan (evenredig met cos α). De normaalkrachten in de punten 1 en 3 zijn gelijk, in punt 2 is de normaalkracht groter. Dus is de wrijvingskracht in punt 2 groter dan in punt 1 en de wrijvingskracht in punt 3 even groot als in punt 1.
| inzicht dat de normaalkracht afhangt van de hellingshoek | 1 punt |
| consequente conclusies | 1 punt |
Casper stelt een model op voor de beweging van het zwaartepunt van zijn kajak op de baan. Zijn model stopt aan het eind van de baan, bij een totale baanlengte van 23,8 m. Na 17,9 m wordt de baan horizontaal en na 20,0 m gaat de baan omhoog.
Het computermodel is weergegeven in figuur 6. In het model zijn twee modelformules en een startwaarde niet compleet.
e) Voer de volgende opdrachten uit:
— Geef de formule voor Fn die in het model gebruikt moet worden.
— Geef de formule voor v die in het model gebruikt moet worden.
— Leg uit of in de startwaarden g = 9,81 (m s-2) of g = -9,81 (m s-2) moet staan.
— Fn = m*g*cos(alfa) (dit zou je ook af kunnen leiden uit een krachtenschets bij bijvoorbeeld vraag b of c)
— v=v+a*dt
— Tijdens het eerste deel van de beweging versnelt de kayak, dus Fres is positief. Uit Fres = Fzlangs ˗ Fw volgt dan dat Fzlangs positief is voor alfa = 42o. Uit Fzlangs = m*g*sin(alfa) blijkt dan dat g = 9,81 (m s-2).
| inzicht dat Fn = m*g*cos(alfa) | 1 punt |
| inzicht dat v=v+a*dt | 1 punt |
| inzicht dat de richting langs het vlak naar beneden positief is | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
Casper breidt zijn model uit met de beweging door de lucht. Hierbij verwaarloost hij de wrijvingskracht in de lucht. Met het model berekent Casper om de 0,25 s de positie van (het zwaartepunt van) zijn kajak. Zie figuur 7.
Het hoogste punt B van de baan door de lucht ligt duidelijk lager dan het startpunt A. Volgens Casper komt dat doordat de kajak op de baan een behoorlijke wrijvingskracht ondervindt. Lisa stelt dat punt B, ook al zou er helemaal geen wrijvingskracht zijn, toch altijd lager dan punt A moet liggen.
f) Leg uit of Lisa gelijk heeft.
In punt A heeft de kajak geen kinetische energie, in punt B wel. Dus is de zwaarte-energie in punt B kleiner dan in punt A. Dus ook zonder wrijving ligt punt B lager. Lisa heeft gelijk.
| inzicht dat in punt B de kajak een snelheid en dus kinetische energie heeft | 1 punt |
| inzicht dat de zwaarte-energie in B lager is en consequente conclusie | 1 punt |
Het model wordt uitgebreid zodat ook de zwaarte-energie en de kinetische energie van de kajak berekend worden. Zie figuur 8.
Op t = 2,75s bereikt de kajak het horizontale gedeelte van de baan. Op t = 3,25s komt de kajak los van de baan.
g) Voer de volgende opdrachten uit:
— Bepaal met behulp van figuur 8 de arbeid die door de wrijvingskracht is verricht tijdens de afdaling langs het schuine gedeelte van de baan.
— Leg uit hoe uit figuur 8 blijkt dat de luchtweerstand in het model verwaarloosd wordt.
— Het verschil tussen de som van zwaarte-energie en kinetische energie op t = 2,75s en de totale energie op tijdstip t = 0s is gelijk aan de verrichte arbeid door de wrijvingskracht. (Tip: dit kan je afleiden met behulp van de wet van behoud van energie)
Aflezen uit figuur 8:
$\left( E_\textup{z}+E_\textup{k}\right)_{t=0\textup{ s}}=9,8\cdot10^3\textup{ J}$ en $\left( E_\textup{z}+E_\textup{k}\right)_{t=2,75\textup{ s}}=7,1\cdot10^3\textup{ J}$
Dus de arbeid die de wrijvingskracht heeft verricht is $-2,7\cdot10^3\textup{ J.}$
— Uit de symmetrie van Ek en Ez tussen t = 3,25s en t = 4,9s blijkt dat (Ez + Ek ) constant is. Er is dus geen energieverlies ten gevolge van de luchtweerstand en dus is de luchtweerstand in het model verwaarloosd.
| inzicht dat de afname van (Ez + Ek) het gevolg is van de arbeid door de wrijvingskracht | 1 punt |
| aflezen van Ez op t = 0 s en Ek op t = 2,75 s | 1 punt |
| completeren van de bepaling van de arbeid door de wrijvingskracht | 1 punt |
| inzicht dat (Ez + Ek) constant is tussen t = 3,25s en t = 4,9 s | 1 punt |
