Een spectaculair onderdeel van veel achtbanen is de looping. Als het treintje van de achtbaan vanaf punt A door de looping beweegt, gaat de passagier ‘over de kop’. Zie figuur 1.
Voordat het treintje bij punt A komt, rijdt het vanuit stilstand vanaf een bepaalde hoogte h boven punt A langs een helling naar beneden. (Dit is niet te zien in figuur 1.)
Het treintje heeft in punt A een snelheid van 27,8 ms-1.
a) Bereken hoe groot deze hoogte h boven punt A minimaal moet zijn.
methode 1
Voor het berekenen van de minimale hoogte geldt dat de wrijvingskracht te verwaarlozen is. Voor de wet van behoud van energie geldt dan:
$mgh=\frac{1}{2}mv^2\Leftrightarrow h = \dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{27,8^2}{2\cdot 9,81}=39,4\textup{ m.}$
| inzicht in de wet van behoud van energie bij de minimale hoogte | 1 punt |
| gebruik van $E_{z}=mgh$ en $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
methode 2
De eindsnelheid van het treintje is gelijk aan de snelheid die een voorwerp krijgt dat van dezelfde hoogte valt.
Dat voorwerp wordt versneld met 9,81 ms-2 tot een snelheid van 27,8 ms-1. Er geldt:
$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ . Dit geeft $\Delta t = 2,834\textup{ s.}$
$v_{eind}\, = g\, t$
$h= v_{gem}t$ waarbij je kunt gebruiken: $v_{gem}= \frac{1}{2} v_{eind}$
Met een gemiddelde snelheid van $\dfrac{27,8}{2}=13,9\textup{ ms}^{-1}$ geldt voor de hoogte:
$h=13,9\cdot 2,834 = 39,4 \textup{ m.}$
| inzicht $v_{eind}=gt$ | 1 punt |
| inzicht dat $h=v_{gem}t$ met $v_{gem}=\frac{1}{2}v_{eind}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
De passagier beweegt in baandeel CDE in een halve cirkel met een diameter van 11,0 m.
Als de passagier zich in het hoogste punt van de looping bevindt (en dus ondersteboven hangt), mag hij niet uit het treintje vallen.
Hiervoor moet het treintje in het hoogste punt van de looping minimaal een bepaalde snelheid hebben.
b) Bereken deze snelheid.
Bij de minimale snelheid geldt in het hoogste punt van de looping dat de middelpuntzoekende kracht gelijk is aan de zwaartekracht.
Er geldt dus: $\dfrac{mv^2}{r}=mg \Leftrightarrow v=\sqrt{gr}=\sqrt{9,81\cdot5,50}=7,35\textup{ ms}^{-1}.$
| inzicht dat in het hoogste punt Fmpz geleverd wordt door Fz | 1 punt |
| gebruik van $F_{z}=mg$ en $F_{mpz}=\frac{mv^{2}}{r}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Ineke en Rob onderzoeken met videometen de beweging van het treintje door de looping. Ze hebben de beweging van het midden van de middelste wagon van het treintje gemeten. Punt B in figuur 1 wordt twee keer gepasseerd: één keer als het treintje de looping in beweegt en één keer als het treintje de looping weer verlaat. De richtingen omhoog en naar rechts worden als positief genomen.
Uit de videometing krijgen ze de grafieken van figuur 2 en 3.
In figuur 2 ((x,t)-diagram) is de beweging in de horizontale richting te zien.
In figuur 3 ((y,t)-diagram) is de beweging in de verticale richting te zien.
Op t = 0 s passeert het treintje punt B.
c) Geef in de figuur 2 aan op welk tijdstip het treintje punt E passeert.
"De richting naar rechts wordt als positief genomen."
In figuur 1 is te zien dat punt E helemaal aan de linkerkant van de looping zit, en dus is het het meest negatieve punt in figuur 2.
| aangeven punt E op (het tijdstip horend bij) het laagste punt in het (x,t)- diagram | 1 punt |
Ineke en Rob willen de snelheid bepalen op het moment dat het treintje in punt B de looping ingaat. De grootheid snelheid is een vectorgrootheid, net als de grootheid kracht. Je kunt daarom de grootte van de snelheid op dezelfde manier uit zijn componenten berekenen als bij kracht.
d) Bepaal met behulp van de figuren 2 en 3 de grootte van de snelheid op het moment dat het treintje in punt B de looping ingaat.
De snelheid op het moment dat het treintje in punt B de looping ingaat, heeft een component in de x-richting en een component in de y-richting. De snelheid in de x-richting is gelijk aan de steilheid van de raaklijn aan het (x,t)-diagram op tijdstip t = 0 s. Dus geldt:
$v_x=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{8,0}{0,4}=20\textup{ ms}^{-1}.$
De snelheid in de y-richting is gelijk aan de steilheid van de raaklijn aan het (y,t)-diagram op tijdstip t = 0 s. Dus geldt:
$v_y=\dfrac{\Delta y}{\Delta t}=\dfrac{16}{0,7}=23\textup{ ms}^{-1}.$
De snelheid in punt B is te berekenen met (het optellen van vector-componenten):
$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{20^2+23^2}=30\textup{ ms}^{-1}.$
| tekenen van een raaklijn in één of beide grafieken | 1 punt |
| inzicht dat in beide grafieken de snelheid op t = 0 s bepaald moet worden | 1 punt |
| bepalen van $v_{x}=\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_{raaklijn}$ tussen $13\:ms^{-1}$ en $29\:ms^{-1}$ en bepalen van $v_{y}=\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)_{raaklijn}$ tussen $18\:ms^{-1}$ en $32\:ms^{-1}$ | 1 punt |
| inzicht dat $v=\sqrt{v_{x}\,^{2}+v_{y}\,^{2}}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling | 1 punt |
Ineke beweert dat de voorste wagon van het treintje het hoogste punt D met een grotere snelheid passeert dan de middelste wagon (zie figuur 1).
Rob beweert dat de achterste wagon van het treintje het hoogste punt D met een grotere snelheid passeert dan de middelste wagon.
e) Leg voor Ineke uit of ze gelijk heeft en leg voor Rob uit of hij gelijk heeft.
In de situatie van figuur 1 is de zwaarte-energie van het treintje het grootst en de kinetische energie van het treintje dus het kleinst. In de andere situaties is de zwaarte-energie van het gehele treintje kleiner en de kinetische energie en de snelheid dus groter. Omdat alle wagons van het treintje op een bepaald moment met dezelfde snelheid bewegen, hebben Ineke en Rob allebei gelijk.
| inzicht dat in de situatie van figuur 1 de zwaarte-energie van het gehele treintje het grootst is / de kinetische energie van het gehele treintje het kleinst is | 1 punt |
| inzicht dat alle wagons van het treintje op een bepaald moment met dezelfde snelheid bewegen | 1 punt |
| consequente conclusies aangaande de beweringen van Ineke en van Rob | 1 punt |
Punt B in figuur 1 wordt gepasseerd als het treintje de looping in beweegt en als het treintje de looping weer verlaat. Door wrijvingskrachten in de looping komt er warmte vrij.
In figuur 4 staan de kinetische energie en de zwaarte-energie tijdens de beweging van de middelste wagon door de looping (het traject BCDEB) uitgezet als functie van de tijd.
f) Bepaal met behulp van de figuren 1 en 4 de gemiddelde wrijvingskracht die het treintje in het traject BCDEB ondervindt.
Aanpak: bepaal de arbeid (WW) die de wrijvingskracht verricht heeft.
En gebruik dan de formule $W=Fs$ om die arbeid om te rekenen naar de gemiddelde wrijvingskracht.
Het bovenste deel van de looping heeft een lengte van
$\frac{1}{2}\pi d=\frac{1}{2} \pi \cdot 11,0=17,3\textup{ m.}$
Uit een schaalbepaling volgt voor de stukken BC en EB een lengte van ongeveer 12 m. De totale lengte van de looping kan daarmee bepaald worden op 41 m.
Als het treintje de looping verlaat, is de kinetische energie kleiner dan wanneer het treintje de looping in beweegt. Uit dit energieverlies volgt de gemiddelde wrijvingskracht:
$W_\textup{W}=E_\textup{k, in}-E_\textup{k, uit}= 0,88\cdot10^6 - 0,60\cdot 10^6=0,28\cdot10^6\textup{ J;}$
$W_\textup{W}=F_\textup{W}s\rightarrow0,28\cdot10^6=F_\textup{W}\cdot41\rightarrow F_\textup{W}=6,8\cdot10^3\textup{ N.}$
| inzicht dat de totale lengte van de looping bepaald kan worden uitgaande van de gegeven diameter | 1 punt |
| inzicht dat Ww gelijk is aan $\Delta E_{k}$ over het hele traject | 1 punt |
| gebruik van $W=Fs$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling | 1 punt |
