In de Volkskrant van 27 mei 2020 wordt de lancering aangekondigd van een bemand ruimtevaartuig, de Crew Dragon, dat gaat koppelen met het ISS (International Space Station). Het ISS draait al zo’n 20 jaar op 400 km hoogte zijn rondjes rond de aarde. De shuttle met de 2-koppige bemanning wordt gelanceerd door een tweetraps raket, de Falcon 9.
Eind 2020 en begin volgend jaar staan twee vervolgvluchten van de Crew Dragon gepland.
Om zo’n gevaarte in de ruimte te kunnen brengen is voldoende snelheid nodig. Deze snelheid wordt de ontsnappingssnelheid genoemd.
a) Toon aan dat de ontsnappingssnelheid gelijk is aan 11,2 kms-1.
Ontsnappingssnelheid is de beginsnelheid die een voorwerp moet hebben om vanaf het planeetoppervlak te kunnen ontsnappen en tot op zo’n grote afstand te komen dat de gravitatiekracht van de planeet op het voorwerp 0 is. Er moet gelden:
$E_k=E_{g,\infty}-E_{g,oppervlak}\rightarrow \frac{1}{2}m_{voorwerp}v^2 = 0 - \left(-G\frac{M_{aarde}m_{voorwerp}}{R}\right)$
Hierin is R de straal van de aarde. Beide kanten delen door mvoorwerp geeft:
$\frac{1}{2}v^2=G\frac{M_{aarde}}{R}\rightarrow v = \sqrt{\frac{2GM_{aarde}}{R}}$
Invullen geeft:
$v=\sqrt{\frac{2\cdot 6,67384\cdot 10^{-11}\cdot 5,972\cdot 10^{24}}{6,371\cdot 10^6}}=11186,56~\mathrm{ms}^{-1}=11,2~\mathrm{kms}^{-1}$
Dit is in overeenstemming met de ontsnappingssnelheid die in BINAS tabel 31 staat.
De vlucht is getekend in figuur 1.
Na het starten vanaf de ruimtebasis Kennedy Space Center in Florida (USA) ( nummer ❶), zal het ruimtevaartuig Crew Dragon een baan om de aarde beschrijven. Crew Dragon liet enkele minuten na de lancering de eerste rakettrap achter zich, waarna deze heelhuids weer op aarde landde. Tien minuten later zat ook het werk van de tweede rakettrap erop en bereikte Crew Dragon zijn bedoelde baan (nummer ❷).
Na een aantal rondjes om de aarde kunnen de stuurmotoren de capsule met bemanning naar een hoogte van 400 km brengen en een koppeling met het ISS maken (nummer ❸).
Het eerste rondje om de aarde wordt gemaakt op een hoogte van 300 km.
b) Bereken de snelheid van de capsule in de baan op 300 km hoogte.
$F_G=F_{mpz}\rightarrow G\frac{mM_{aarde}}{(R+h)^2}=\frac{mv^2}{R+h}$
Waarin h de hoogte boven het aardoppervlak is en R de straal van de aarde.
$v=\sqrt{\frac{GM_{aarde}}{R+h}}=\sqrt{\frac{6,67384\cdot 10^{-11}\cdot 5,972\cdot 10^{24}}{6,378\cdot 10^6+300\cdot 10^3}}=7,73\cdot 10^3~\mathrm{ms}^{-1}$
Dit komt overeen met 27,8 . 103 km/h
c) Bereken de omlooptijd.
$T=\frac{2\pi(R+h)}{v}=\frac{2\pi\cdot (6,378\cdot 10^6+300\cdot 10^3)}{7,73\cdot 10^3}=5425~\mathrm{s}=1,51~\mathrm{h}$
In de bijgaande illustratie staat: “Met stuurmotoren geeft de Crew Dragon gas zodat hij richting de baan van ruimtestation ISS schuift”.
Om naar de hogere baan op 400 km hoogte te gaan, moet het ruimtevaartuig opnieuw aan de aarde ‘ontsnappen’.
d) Noem twee redenen waardoor het nu veel minder energie kost dan bij het starten.
- De 1e en de 2e trap raketten zijn afgeworpen en het ruimtevaartuig bestaat nog alleen uit de capsule met de bemanning, waardoor de te versnellen massa veel kleiner is.
- Boven 300 km hoogte is de wrijving van de atmosfeer te verwaarlozen.
e) Beredeneer of de snelheid van de capsule in een hogere baan van 400 km, groter of kleiner is.
De snelheid in een hogere baan om de aarde is lager. In de formule (zie antwoord e.) voor de omloopsnelheid als functie van de hoogte staat de hoogte in de noemer en v wordt dus kleiner bij grotere h.
f) Bereken de snelheid van het ISS op die hoogte.
$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{6,67384\cdot 10^{-11}\cdot 5,972\cdot 10^{24}}{6,378\cdot 10^6+400\cdot 10^3}}=7,67\cdot 10^3~\mathrm{ms}^{-1}$
Dat is 27,6 . 103 kmh-1.
g) Hoe groot moet de snelheid van de capsule zijn om met het ISS te koppelen?
De capsule moet dezelfde snelheid hebben als het ISS, dus beide razen met een snelheid van ongeveer 28 duizend door de ruimte en kunnen dan koppelen. Het gaat dus niet om de absolute snelheden maar om de relatieve snelheid.
