Op 8 oktober 2019 werd bekend gemaakt dat de Nobelprijs voor de Natuurkunde 2019 gewonnen is door James Peebles, Michel Mayor en Didier Queloz. De eerstgenoemde kreeg zijn prijs voor belangrijk theoretisch werk rondom fysische kosmologie. Mayor en Queloz hebben een exoplaneet ontdekt rondom een op de zon lijkende ster.
De ster die zij onderzocht hebben heet 51 Pegasi en bevindt zich op een afstand van 50 lichtjaar van de Aarde. De lichtkracht van 51 Pegasi is 1,30 keer zo groot als die van de zon en de straal van de ster is 1,24 keer zo groot.
a) Voer de volgende opdrachten uit:
- Bereken de oppervlaktetemperatuur van 51 Pegasi.
- Vergelijk deze waarde met de oppervlaktetemperatuur van de zon.
- Vergelijk het licht dat 51 Pegasi uitzendt met het licht van de zon
- De lichtkracht (of het stralingsvermogen) en de straal van de zon staan in Binas tabel 32C en zijn respectievelijk 3,85 . 1026 W en 6,963 . 108 m. Voor de lichtkracht geldt:
$L=\sigma A T^4=\sigma 4 \pi R^2 T^4$
Dit geeft voor de temperatuur:
$T^4=\frac{L}{\sigma 4\pi R^2}=\frac{1,30\cdot 3,85\cdot 10^{26}}{5,670\cdot 10^{-8}\cdot 4\pi \cdot (1,24\cdot 6,963\cdot 10^8)^2}=9,42\cdot 10^{14}$
$T=(9,43\cdot 10^{14})^{\frac{1}{4}}=5,54\cdot 10^3~\mathrm{K}$ - De oppervlakte temperatuur van de zon is volgens Binas 32B gelijk aan 5,78 . 103 K. Deze temperaturen zijn vrijwel gelijk.
- Beide sterren zenden dus een vergelijkbaar spectrum uit.
De ontdekte exoplaneet heet 51 Pegasi B (dus met een toevoeging B). Deze draait in een cirkelvormige baan op een afstand van slechts 7,5 miljoen kilometer van de ster. De omlooptijd is 4,2 dagen. Voor de omlooptijd T van een planeet om een ster met massa M geldt:
$T^2=r^3\cdot \frac{4\pi^2}{GM}$
Hierin is de afstand tussen de ster en de planeet.
b) Leid deze formule af met behulp van formules uit een tabellenboek.
Er geldt:
$F_{mpz}=F_G\rightarrow \frac{mv^2}{r}=\frac{GmM}{r^2}$
Hieruit volgt:
$v^2=\frac{GM}{r}$
Hierin substitueren we de uitdrukking voor de baansnelheid:
$\left(\frac{2\pi r}{T} \right )^2=\frac{GM}{r}$
De haakjes uitwerken geeft:
$\frac{4\pi^2r^2}{T^2}=\frac{GM}{r}\rightarrow \frac{4\pi^2}{GM}=\frac{T^2}{r^3}$
Omschrijven geeft de gevraagd formule:
$T^2=r^3\cdot \frac{4\pi^2}{GM}$
c) Bereken de massa van 51 Pegasi, uitgedrukt in de massa van de zon
De massa volgt uit de gegeven formule:
$M=\frac{4\pi^2}{G}\frac{r^3}{T^2}=\frac{4\pi^2}{6,67\cdot 10^{-11}}\frac{(7,5\cdot 10^9)^3}{(4,2\cdot 24\cdot 3600)^2}=1,9\cdot 10^{30}~\mathrm{kg}$
De massa van de zon is 1,9884 . 1030 kg. De massa van 51 Pegasi is dus 0,95 Mzon.
In werkelijkheid is de massa van 51 Pegasi echter 1,05 Mzon . Het verschil ontstaat doordat er bij vraag b van uit is gegaan dat de ster stilstaat, en de planeet hier een cirkelvormige baan omheen beschrijft. Beide aannames zijn niet helemaal correct, zoals we zullen zien in de volgende vraag.
Doordat de planeet een aantrekkingskracht uitoefent op de ster zal de ster niet helemaal stil staan. In figuur 2 staan de ster en de planeet schematisch weergegeven. Deze figuur is niet op schaal. Het massamiddelpunt is met M aangegeven. Zowel de ster als de planeet beschrijven een cirkel om dit massamiddelpunt M.
d) Leg uit waarom de ster een kleinere baanstraal heeft ten opzichte van het massamiddelpunt M dan de planeet. Maak in je antwoord gebruik van de tweede en derde wet van Newton.
Uit de derde wet van Newton volgt dat de kracht die de ster uitoefent op de planeet gelijk is aan de kracht die de planeet uitoefent op de ster. Aangezien de massa van de ster veel groter is dan de massa van de planeet, zal volgens de tweede wet van Newton de versnelling van de ster veel kleiner zijn dan die van planeet. In dit geval is dat de centripetale versnelling. Als gevolg hiervan zijn de baanstraal en baansnelheid van de ster kleiner dan die van de planeet.
Aangezien de ster draait om het gemeenschappelijk massamiddelpunt, lijkt de ster voor een waarnemer op aarde een beetje te wiebelen. De golflengte van het uitgezonden licht zal ten gevolge van het dopplereffect een klein beetje varieren. Mayor en Queloz hebben de exoplaneet in 1995 ontdekt door deze dopplerverschuiving waar te nemen. In die tijd was de experimentele precisie zodanig dat men variaties van 15 m/s in de radiale snelheid kon waarnemen. Nauwkeuriger wat toen niet mogelijk. Voor de waarneming werden meerdere spectraallijnen gebruikt. Eén van die lijnen is de zogenaamde H-alfa lijn. Dit is het licht dat uitgezonden wordt bij een overgang in waterstof van de tweede naar de eerste aangeslagen toestand.
e) Voer de volgende opdrachten uit:
- Toon met een berekening aan dat de golflengte van de H-alfa lijn gelijk is aan 657 nm.
- Bereken de minimale verschuiving van de golflengte die waargenomen kan worden.
- De energie die vrijkomt bij waterstof bij een overgang van n = 3 naar n = 2 is gelijk aan:
$\Delta E = E_3 - E_2 = \frac{-13,6}{3^2}-\frac{-13,6}{2^2}=1,89~\mathrm{eV}$
De golflengte van een foton met deze energie is gelijk aan:
$\lambda=\frac{hc}{E_f}=\frac{6,626\cdot 10^{-34}\cdot 3,0\cdot 10^8}{1,89\cdot 1,602\cdot 10^{-19}}=657~\mathrm{nm}$ - Voor de dopplerverschuiving geldt dan:
$v=\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\cdot c \rightarrow \Delta \lambda = \frac{v}{c}\cdot \lambda = \left(\frac{15}{3,0\cdot 10^8} \right )\cdot 657=3,3\cdot 10^{-5}~\mathrm{nm}$
In figuur 3 zie je de door Mayor en Queloz waargenomen radiale snelheid tijdens vier metingen als functie van de fase van de ster. Bij en beweegt de ster richting de aarde. Bij beweegt de ster juist van de aarde af.
f) Leg uit hoe je in deze figuur kan zien dat de experimentele precisie gelijk is aan 15 m/s.
Bij elke meting staan twee verticale streepjes die de onzekerheid van de meting aangeven. De afstand tussen deze streepjes komt ongeveer overeen met 15 m/s.
g) Bepaal met behulp van figuur 3 de maximale verschuiving in de golflengte van 51 Pegasi die binnen de onderzekerheidsmarges van de waarneming valt.
De maximale radiale snelheid die volgt uit Figuur 3 is ongeveer 75 m/s. De bijhorende verschuiving is:
$\Delta \lambda = \frac{v}{c}\cdot \lambda = \left(\frac{15}{3,0\cdot 10^8} \right )\cdot 657 = 1,6\cdot 10^{-5}~\mathrm{nm}$
Dit is een extreem klein verschil in de waargenomen golflengte! Wat een knap onderzoek!
