G.P. Thomson toonde experimenteel elektronendiffractie aan. Hij liet zien dat er een interferentiepatroon ontstaat als elektronen op een stukje vaste stof geschoten worden. Hiermee toonde hij aan dat elektronen een golfkarakter hebben. In 1937 ontving hij hiervoor de Nobelprijs.
Bob en Marly gaan het experiment van Thomson uitvoeren met een elektronendiffractiebuis. Zij willen daarmee de afstanden tussen de atomen in grafiet bepalen. Zij gebruiken de opstelling die weergegeven is in figuur 1.
De gloeikathode levert elektronen. Deze elektronen hebben een verwaarloosbare snelheid. De elektronen doorlopen een versnelspanning die variabel is tot 10 kV. De elektronen gaan door het stukje grafiet, waarna ze op een fosforscherm een interferentiepatroon geven. Dit interferentiepatroon kan worden verklaard doordat de elektronen een golfkarakter vertonen.
Voor de debroglie-golflengte van de elektronen geldt:
$\lambda= \frac{h}{\sqrt{2emU}}~~~~~~~~~~(1)$
Hierin is:
- h de constante van Planck;
- e de lading van het elektron;
- m de massa van het elektron;
- U de versnelspanning.
Opgaven
a) Leid formule (1) af.
In jouw tabellenboek vind je een formule voor de debroglie-golflengte:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$
In dit geval gaat het om elektronen die versneld worden door een versnelspanning U. Hierbij wordt elektrische energie omgezet in kinetische energie. Uit die kinetische energie vind je de snelheid die je kan invullen in bovenstaande uitdrukking voor de debroglie-golflengte.
$\Delta E_{el} = -\Delta E_k \rightarrow qU = \frac{1}{2} mv^2 \rightarrow v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$
Hierin is q de lading van het elektron, gelijk aan e. Invullen geeft:
$\lambda = \frac{h}{m\sqrt{\frac{2eU}{m}}}=\frac{h}{\sqrt{2emU}}$
b) Bereken de debroglie-golflengte van de elektronen nadat ze een versnelspanning van 5,0 kV hebben doorlopen.
Dit is een kwestie van de gegeven vergelijking invullen:
$\lambda = \frac{6,626\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9,11\cdot 10^{-31}\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\cdot 5,0\cdot 10^3}}=1,7\cdot 10^{-11}~\mathrm{m}$
In grafiet liggen de koolstofatomen in lagen op elkaar. In de afzonderlijke lagen liggen de koolstofatomen in regelmatige zeshoeken. Het effect van elektronendiffractie vindt plaats binnen één laag en niet tussen de lagen. In figuur 2 is één zo’n laag weergegeven.
In een laag liggen de atomen in evenwijdige lijnen. Aan deze lijnen vindt reflectie plaats, de zogenaamde Braggreflectie. De elektronengolven die terugkaatsen van de verschillende evenwijdige lijnen hebben een verschil in weglengte waardoor ze interfereren. Dit is schematisch weergegeven in figuur 3.
Er treedt constructieve interferentie op als:
$2d \sin \alpha = n\lambda ~\mathrm{met}~n=1,2,3,\ldots~~~~~~~~~~~~~~(2)$
Hierin is:
- d de afstand tussen de roosterlijnen;
- α de hoek waaronder de elektronenbundel de roosterlijn treft;
- λ de debroglie-golflengte van de elektronen.
c) Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef in een print van figuur 3 het verschil in weglengte tussen de twee stralen aan.
- Leid hiermee formule (2) af.
- Met het verschil in weglengte bedoelen we de afstand die de ene lichtstraal meer afgelegd heeft dan de andere lichtstraal. Bij de bovenste lichtstraal is de afgelegde weg tot D gelijk aan de afgelegde weg van de onderste lichtstraal tot A. Vanaf D legt de bovenste lichtstraal evenveel afstand af als de onderste lichtstraal vanaf C. Het stuk tussen A en C legt de onderste lichtstraal meer af dan de bovenste. Dit staat aangegeven in onderstaande figuur.
- Laten we eerst kijken of we de afstand AB uit kunnen drukken in afstand d. In de driehoek ABD kunnen we ook hoek α vinden. Zie onderstaande afbeelding:
Zijde AB is dan de overstaande zijde en de schuine zijde is gelijk aan d. We gebruiken dus de sinus:
$sin(\alpha)=\frac{o}{s}=\frac{AB}{d}\rightarrow AB = d\sin(\alpha)$
Het totale weglengteverschil is twee keer zo groot. Wanneer dit gelijk is aan een geheel aantal golflengtes treedt er constructieve interferentie op. De voorwaarde voor constructieve interferentie is dus:
$2d\sin(\alpha)=n\lambda$
In figuur 4 zijn verschillende lijnen te zien waaraan reflectie plaats kan vinden. De afstanden tussen verschillende lijnen zijn aangegeven met d1 en d2.
Bij een interferentiepatroon aan een monokristallijne laag grafiet (dat wil zeggen een laag die uit één kristal grafiet bestaat) ontstaat het patroon van figuur 5 op het scherm van de elektronendiffractiebuis uit figuur 1.
Als er in de diffractiebuis geen monokristallijne laag grafiet zit maar een polykristallijne laag (dat wil zeggen dat er vele kristallen kriskras door elkaar zitten), ziet het interferentiepatroon eruit als in figuur 6.
d) Leg uit of de buitenste ring komt van interferentie aan lijnen met afstand d1 of met afstand d2.
Bij de buitenste ring is de hoek α het grootst. Om in formule (2) dan toch gelijk uit te komen, moet de afstand d kleiner zijn. De buitenste ring hoort dus bij afstand d1.
Bob en Marly meten bij verschillende versnelspanningen de straal van de ringen op het scherm.
Bij lage versnelspanningen verschijnen geen ringen op het scherm. Dan is alleen de stip in het midden op het scherm te zien.
e) Leg uit waarom bij lage versnelspanningen geen ringen verschijnen op het scherm.
Uit formule 1 volgt dat de golflengte erg groot is bij een lage versnelspanning. Als de golflengte veel groter is dan de afstand tussen 2 lijnen treedt er geen interferentie op en zie je dus geen ringen verschijnen.
Je ziet dit ook in formule 2. Wanneer de golflengte te groot is, moet sin(α) groot zijn. sin(α) kan echter nooit groter dan 1 zijn.
Van de metingen maken Bob en Marly een grafiek waarin ze de straal van beide ringen uitzetten tegen de debroglie-golflengte van de elektronen. Zie figuur 7.
Voor kleine afbuigingshoeken geldt bij benadering:
$r=\frac{2R}{d}n\lambda~~~~~~~~~~~(3)$
Hierin is:
- r de straal van de ring op het scherm;
- d de afstand tussen roostervlakken;
- λ de debroglie-golflengte;
- R de straal van de bol van de diffractiebuis (65 mm);
- n = 1.
f) Bepaal met behulp van een print van figuur 7 zo nauwkeurig mogelijk de grootte van d voor de buitenste ring.
De bovenste reeks meetpunten hebben de grootste r en horen dus bij de buitenste ring. In onderstaande figuur is een lijn door deze meetpunten getekend.
Op de x-as staat de golflengte, op de y-as de straal. Er is duidelijk een lineair verband. Er geldt dus:
$r=a\cdot \lambda + b$
Hierin is a de helling van de lijn.
In formule (3) zie je ook een verband tussen de golflengte en de straal: $r = \frac{2R}{d}n\cdot \lambda$
Als je deze formule vergelijkt met het verband voor een lineaire lijn vind je dat de helling van de lijn a gelijk is aan 2R/d . n.
De helling is eenvoudig uit de grafiek te halen:
$a=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(21-13)\cdot 10^{-3}}{(1,98-1,22)\cdot 10^{-11}}=1,053\cdot 10^9$
De grootte d is dan:
$\frac{2R}{d}\cdot n = 1,053\cdot 10^9\rightarrow d = \frac{2\cdot 0,065\cdot 1}{1,053\cdot 10^9}=1,2\cdot 10^{-10}~\mathrm{m}$
