Tegen het einde van de Eerste Wereldoorlog introduceerde het Duitse leger een nieuw ontwerp kanon, het ‘Pariser Kanone’ (het Parijse Kanon). Zie figuur 1.
Dit kanon kon Parijs beschieten van achter de frontlinie, een afstand van 120 km. Een granaat bereikte hierbij een hoogte van wel 40 km waarbij hij door zeer ijle lucht vloog. Tussen maart en augustus 1918 schoot het Duitse leger ongeveer 350 granaten af richting Parijs.
Gegevens van het Pariser Kanone
De loop was extra lang gemaakt, zodat de granaten een voldoende hoge snelheid kregen om de afstand te overbruggen.
In figuur 2 en 3 zijn het (v,t)-diagram en het (Fres,t)-diagram van een granaat weergegeven tijdens het afschieten. Op t = 0,04 s verlaat de granaat de loop.
Opgaven
a) Bepaal met behulp van een print van figuur 2 de lengte van de loop van het kanon.
Figuur 2 laat een (v,t)-diagram zien. Er wordt hier gevraagd om de lengte te bepalen. De afstand volgt uit een (v,t)-diagram door de oppervlakte onder de lijn te bepalen.
Je kan de oppervlakte bepalen door hokjes te tellen. Je komt dan uit op ongeveer 34 hokjes. Elk hokje komt overeen met een 0,005 s lang een snelheid van 0,2 . 103 ms-1, oftewel 0,005 . 0,2 . 103 = 1 m.
De loop van het kanon is 34 meter lang.
De granaat bereikt zijn maximale versnelling op t = 0,01 s.
b) Bepaal met behulp van de figuren 2 en 3 de massa van een granaat, en laat zien of deze massa ligt binnen een marge van 10% van de waarde uit de tabel.
De maximale versnelling wordt bereikt op t = 0,01 s. In figuur 3 kan je de resulterende kracht aflezen. Deze is 6,6 . 106 N.
In figuur 2 vind je de snelheid op t = 0,01 s. Je kent echter geen eenvoudig verband tussen kracht, massa en snelheid. Je kent wel een eenvoudig verband tusse kracht, versnelling en massa, namelijk de tweede wet van Newton. Als je de versnelling op t = 0,01 s zou weten, zou je met behulp van de resulterende kracht de massa uit kunnen rekenen. Je kan de versnelling op t = 0,01 s bepalen door een raaklijn te tekenen in het (v,t)-diagram. Zie onderstaande figuur:
De versnelling is dan:
$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{1,8\cdot 10^3}{0,033-0,004}=6,2\cdot 10^4~\mathrm{ms}^{-2}$
De massa van de granaat is dan:
$m = \frac{F_{res}}{a} = \frac{6,6\cdot 10^6}{6,2\cdot 10^4}=106~\mathrm{kg}$
De marge van 10% is van 95,4 tot 116,6 kg. Daar valt de berekende massa ruim tussen.
Er komt 3,0 MJ aan energie vrij per kilogram buskruit.
c) Bereken het rendement van het afschieten (tot t = 0,04 s) van het kanon. Verwaarloos hierbij de toename van de zwaarte-energie.
We willen het rendement berekenen. We weten hoeveel chemische energie er vrijgekomen is per kilogram buskruit. De totale chemische energie is dan: 180 . 3,0 = 540 MJ.
Deze chemische energie is door het kanon omgezet in kinetische energie. De granaat haalt een snelheid van 1640 ms-1. De bijhorende kinetische energie is:
$E_k=\frac{1}{2}mv^2 =\frac{1}{2}\cdot 106\cdot (1640)^2=1,43\cdot 10^8~\mathrm{J}$
Het rendement is:
$\eta = \frac{E_{kin}}{E_{ch}}=\frac{1,43\cdot 10^8}{540\cdot 10^6}=0,26=26\%$
Fabian wil met behulp van een model de baan simuleren van een granaat nadat die door het kanon afgeschoten is. Hij beschouwt de baan als een combinatie van een beweging in de x-richting en een beweging in de y-richting. Zie figuur 4 voor het model.
De stopconditie bepaalt wanneer het model moet stoppen.
d) Voer de volgende opdrachten uit:
- Beschrijf wat de stopconditie in dit model moet zijn.
- Geef aan wat op de stippellijn moet komen in de regel: Fy = ......- Fwy
- Bereken de juiste waarde van A.
- Het model moet stoppen wanneer de granaat op de grond terecht komt.
(Dit is wanneer y = 0. Aangezien het model echter steeds in kleine stapjes rekent kan het zijn dat het model niet exact op y = 0 uitkomt. De stopconditie moet dus zijn als y < 0). - Fy staat voor de kracht in de verticale richting. Daar hoort ook de zwaartekracht bij. Deze moet dus meegenomen worden. De zwaartekracht werkt echter naar beneden, en moet dus negatief meegenomen worden. Er moet staan: Fy = -Fz - Fwy.
-
A staat voor het frontaal oppervlak. De diameter van de granaat is gegeven, namelijk 20 cm. A is dan gelijk aan:
$A=\pi r^2 = \pi \cdot 0,10^2 = 3,1\cdot 10^{-2}~\mathrm{m}^2$
Met behulp van het model maakt Fabian een (y,t)-diagram en een (y,x)-diagram van de baan van een granaat. Zie figuur 5 en 6.
e) Leg uit welk diagram (figuur 5 of figuur 6) het (y,t)-diagram van de granaat weergeeft.
Wat opvalt wanneer je de figuren 5 en 6 met elkaar vergelijkt is de helling die de lijn bij de x-as maakt. Bij figuur 5 is de helling aan het begin groter dan aan het einde. Dit betekent dat de granaat met een grotere snelheid weggeschoten is, dan waarmee hij landt. Bij figuur 6 is dit precies andersom.
Vanwege de wrijving zal de granaat met een kleinere snelheid landen, dan waarmee hij afgeschoten is. Figuur 5 is dus het gevraagde (y,t)-diagram.
Fabian merkt op dat zijn model niet kan verklaren hoe een granaat met een beginsnelheid van 1640 m s-1 een afstand van 120 km kan afleggen. Emily merkt op dat de luchtdichtheid van de atmosfeer afneemt als de hoogte boven zeeniveau toeneemt.
Fabian breidt zijn model uit met een variabele luchtdichtheid en met dit model simuleert hij de beweging van de granaat. Dit levert het (v,t)-diagram van figuur 7. Na 190 s slaat de granaat in.
f) Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef aan waarom de minimale snelheid van de granaat niet gelijk is aan 0.
- Leg uit waarom de snelheid van de granaat aan het eind van de beweging afneemt.
- De minimale snelheid zal de granaat op het hoogste punt bereiken. Hier is er geen snelheid meer in de verticale richting, maar nog wel in de horizontale richting. De minimale snelheid zal hierdoor niet gelijk zijn aan 0.
- Aan het einde van de beweging komt de granaat steeds lager. Zoals Emily al opmerkt zal de dichtheid van de lucht dan groter zijn. Daardoor zal de granaat een nettokracht tegen de bewegingsrichting in ondervinden. Hierdoor vertraagt de granaat.
Fabian wil nagaan of hij met dit model de vlucht van de granaat van het kanon realistisch heeft gesimuleerd en of de granaat inderdaad 120 km verderop inslaat. In figuur 7 bepaalt hij daarvoor de oppervlakte onder de grafieklijn, tussen t = 0 en t = 190 s.
Emily merkt op dat Fabian nu een fout maakt.
g) Voer de volgende opdrachten uit:|
- Leg uit waarom Fabian de afstand tussen het kanon en de inslag van de granaat niet op correcte wijze heeft bepaald.
- Geef aan of de afstand die Fabian heeft gevonden te groot of te klein is.
- De oppervlakte onder de grafiek geeft de totaal afgelegde weg van de kogel af. Fabian is echter geïnteresseerd in de horizontale afstand die de kogel aflegt. Deze zijn niet aan elkaar gelijk.
- De totaal afgelegde weg is altijd groter dan de horizontale afgelegde weg. Fabian komt dus te groot uit.
