Een hyperloop is een toekomstontwerp voor snel transport over lange afstanden. Hierbij reizen passagiers in een zogenaamde ‘pod’ met hoge snelheid door een buis. Zie figuur 1.
Om de ontwikkeling van de hyperloop te stimuleren is er een ontwerpwedstrijd uitgeschreven voor bedrijven en universiteiten. Voor deze wedstrijd zijn veel deelontwerpen bedacht en getest om diverse deelproblemen van de hyperloop op te lossen. Een deel van de testen is eerst gemodelleerd. Zo is van een pod die getest moet worden met een vereenvoudigd model een (v,t)-diagram gemaakt. Zie figuur 2.
In deel I wordt de pod met een motor versneld, in deel II is de motor uitgeschakeld en in deel III wordt de pod door de motor afgeremd.
Opgaven
a) Leg met behulp van figuur 2 uit of in het model rekening is gehouden met wrijving.
In deel II staat de motor uit. Er is dan geen voorwaartse kracht. In figuur 2 zie je dat de snelheid daar wel afneemt. Dat gebeurt wanneer er een tegenwerkende kracht is. Er is dus rekening gehouden met de wrijving.
Om pod-ontwerpen te testen is een testtraject gebouwd. Dat testtraject is 1,7 km lang.
b) Toon met behulp van figuur 2 aan of het traject lang genoeg is voor de test met de pod uit het model.
Je moet de afgelegde afstand die volgt uit figuur 2 vergelijken met de lengte van het testtraject: 1,7 km.
De afstand volgt uit een (v,t)-diagram door de oppervlakte onder de lijn te bepalen. In het eerste en het derde deel zie je een driehoek. Hiervan bereken je de oppervlakte met 1/2 . hoogte . breedte. In deel II neemt de snelheid gelijkmatig af van 125 m/s naar 122 m/s. De gemiddelde snelheid in dit deel is dus 123,5 m/s.
De oppervlakte is dan gelijk aan:
$s=s_I+s_{II}+s_{III} = \frac{1}{2}\cdot 125\cdot 4 +123,5\cdot (12-4) + \frac{1}{2}\cdot 122\cdot (18-12)=1606=1,6~\mathrm{km}$
Het traject is lang genoeg.
Voor de luchtweerstandskracht geldt:
$F_w=k\cdot \rho\cdot v^2$
Hierin is:
- k een constante;
- ρ de dichtheid van de lucht;
- v de snelheid van de pod.
En voor het gebruikte motorvermogen:
$P_{motor}=F_w\cdot v$
De pod moet aangedreven gaan worden door een motor met hetzelfde motorvermogen als een gewone treinmotor. Een trein haalt daarmee een snelheid van 1,2 . 102 kmh-1. De pod moet een snelheid halen van 1,2 . 103 kmh-1. Dit kan door de dichtheid van de lucht in de buis aan te passen. Constante k wordt gelijk beschouwd voor trein en pod.
c) Omcirkel in iedere tabel het juiste antwoord:
Bij gelijke dichtheid van de lucht in de buis en buiten de buis zou de luchtweerstand op de pod (met v = 1,2 . 103 kmh-1 ) ten opzichte van de luchtweerstand op de trein (met v = 1,2 . 102 kmh-1 ):
Als de pod (met v = 1,2 . 103 kmh-1 ) en de trein (met v = 1,2 . 102 kmh-1)
met gelijk motorvermogen moeten worden aangedreven, moet de
dichtheid van de lucht in de buis vergeleken met de buitenlucht:
- De snelheid van de pod is 10 keer zo groot. Je ziet in de formule dat de luchtweerstand afhangt van het kwadraat van de snelheid. Wanneer de snelheid 10 keer zo groot wordt, wordt de luchtweerstand dus 102 keer zo groot. Bij de bovenste tabel moet je dus 1 . 102 keer zo groot omcirkelen.
- Nu is het vermogen gelijk. De snelheid van de pod is 10 keer zo groot. Om dan toch een gelijk vermogen te krijgen, zie je in de tweede formule dat de luchtweerstand 10 keer zo klein moet zijn. De bovenste formule kan je omschrijven tot:
$\rho = \frac{F_w}{kv^2}$
Nu wordt Fw 10 keer zo klein en v2 100 keer zo groot. De dichtheid wordt dan in totaal 1000 keer zo klein. Bij de onderste tabel moet je dus 1 . 103 keer zo klein omcirkelen.
Sommige ontwerpers gaan uit van een pod op wielen. Bij hoge snelheid breken wielen als de middelpuntzoekende kracht in het wiel te groot wordt. De ontwerpers gebruiken een model van een wiel om in een simulatie te testen of hun wielontwerp sterk genoeg is. In het model wordt het wiel voorgesteld als een ring van 10 kg met 4 spaken. Iedere spaak is van aluminium en heeft een doorsnede met een oppervlakte van 15 cm2. Zie figuur 3.
In de simulatie is aan iedere spaak een kwart van de totale massa van de ring bevestigd. Zie schematisch in figuur 4. Deze massa’s krijgen een baansnelheid van 1,2 . 103 kmh-1 en beschrijven een cirkelbaan met een straal van 22,5 cm. De zwaartekracht wordt verwaarloosd.
d) Voer de volgende opdrachten uit:
- Toon aan dat bij 1,2 . 103 kmh-1 de middelpuntzoekende kracht op één massa gelijk is aan 1,2 . 106 N.
- Toon aan of de spaak sterk genoeg is.
- Voor de middelpuntzoekendekracht geldt:
$F_{mpz} = \frac{mv^2}{r}$
Invullen geeft:
$F_{mpz}=\frac{2,5\cdot (\frac{1,2\cdot 10^3}{3,6})^2}{0,225}= 1,23\cdot 10^6~\mathrm{N}$ - De spaak is sterk genoeg als de spanning in de spaak kleiner is dan de treksterkte. In BiNaS tabel 8 of Sciencedata bladzijde 40 vind je de treksterkte van aluminium. Deze zit tussen de 0,4 . 108 en 0,5 . 108 Pa.
De doorsnede van de spaak is 15 cm2 oftewel 15 . 10-4 m2. De spanning in de spaak is dan gelijk aan:
$\sigma = \frac{F}{A}=\frac{1,23\cdot 10^6}{15\cdot 10^{-4}}=8,2\cdot 10^8~\mathrm{Pa}$
De spaak is dus niet sterk genoeg!
Andere ontwerpers hebben niet voor wielen gekozen, maar voor magneten die de pod boven de rails laten zweven en kleine schokken opvangen. Dit systeem met magneten werkt als een soort veer met veerconstante C.
Een beladen pod (m = 1,30 . 103 kg ) zweeft 4,0 cm boven de rail. Een lege pod (m = 8,0 . 102 kg ) zweeft 7,0 cm boven de rail.
e) Bereken de veerconstante van dit systeem.
De veerconstante is gegeven door:
$C=\frac{F_v}{u}$
Hierin is Fv de kracht die de veer uitoefent en u de uitrekking, of in dit geval, indrukking. Wanneer de pod beladen wordt, zweeft hij 3,0 cm lager. De indrukking is dus 3,0 cm oftewel 0,030 m. Deze indrukking ontstaat door de extra zwaartekracht ten gevolge van de lading. De massa van de lading is 1,30 . 103 - 8,0 . 102 = 5,0 . 102 kg.
Dit geeft:
$C=\frac{5,0\cdot 10^2\cdot 9,81}{0,030} = 1,6\cdot 10^5~\mathrm{Nm}^{-1}$
Uiteindelijk kan de hyperloop worden ingezet om grote steden met elkaar te verbinden. In figuur 5 is op een kaart een voorgesteld traject van San Francisco naar Los Angeles weergegeven.
De hyperloop moet met een gemiddelde snelheid van 1,2 ∙ 103 kmh-1 gaan reizen. Nu duurt een treinreis tussen deze steden nog 6,0 uur.
f) Bepaal met behulp van een print van figuur 5 de verwachte tijdwinst.
Nu duurt de reis 6,0 uur. Om de tijdwinst te bepalen moeten we dus eerst weten hoe lang de hyperloop erover gaat doen. We weten de snelheid van de hyperloop. We hoeven dan alleen nog de afstand te bepalen. In figuur 5 is de schaal duidelijk gegeven. Met behulp van de geodriehoek vind je dat het balkje rechtsonderin ongeveer 3,2 keer in het getekende traject past. De afstand van het traject is dan dus 3,2 . 200 = 640 km. De hyperloop legt deze afstand af in:
$t=\frac{s}{v}=\frac{640}{1,2\cdot 10^3}=0,53 ~\mathrm{uur}$
De tijdwinst is dan 6,0 - 0,53 = 5,47 = 5,5 uur.
