Op 21 mei 2018 heeft het Chinese ruimtevaartagentschap CNSA een communicatiesatelliet gelanceerd die de achterkant van de Maan moet gaan ontdekken. Zie ook het artikel op nu.nl. Op de achterkant van de Maan is eerder een sonde geplaatst. De satelliet met de naam Queqiao zal een verbinding tot stand brengen tussen de Aarde en de sonde.
Voor de omlooptijd van objecten in een baan om de Aarde geldt:
$T=\sqrt{\frac{4\pi^2 r^3 }{GM}}$
a) Leid deze formule af gebruikmakend van formules uit een tabellenboek.
De middelpuntzoekende kracht wordt in dit geval geleverd door de gravitatiekracht:
$F_{mpz}=F_G \rightarrow \frac{mv^2}{r} = G\frac{mM}{r^2}\rightarrow v^2=G\frac{M}{r}$
Voor de baansnelheid geldt ook:
$v=\frac{2\pi r}{T}$
Substitueren geeft:
$v^2 = \frac{4\pi^2 r^2 }{T^2 }=G\frac{M}{r}\rightarrow T^2 = \frac{4\pi^2 r^3 }{GM}\rightarrow T=\sqrt{\frac{4\pi^2 r^3 }{GM}}$
b) Toon aan dat de omlooptijd van de Maan gelijk is aan 27,4 dagen.
Uitwerking vraag (b)
Invullen geeft:
$T=\sqrt{\frac{4\pi^2\cdot (3,84\cdot 10^8)^3 }{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,976\cdot 10^{24}}}=2,37\cdot 10^6~\mathrm{s}=27,4~\mathrm{dagen}$
Om goed te functioneren moet de satelliet zich op elk moment aan de achterkant van de Maan bevinden. De satelliet moet dus in een baan om de Aarde gebracht worden met dezelfde omlooptijd als de Maan, maar dan op een grotere afstand. Een object met een baan buiten die van de Maan heeft volgens bovenstaande formule een grotere omlooptijd dan de Maan. Behalve de gravitatiekracht van de Aarde werkt op deze satelliet ook nog de gravitatiekracht van de Maan. Door de grotere kracht verkort de omlooptijd van de satelliet. Zo ontstaat er een punt waar de satelliet dezelfde omlooptijd heeft als de Maan, maar dan op een grotere afstand. We noemen dit een lagrangepunt. Voor de afstand r van het lagrangepunt tot de Maan geldt:
$r=\left(\frac{M_{maan}}{3M_{aarde}} \right )^{1/3}\cdot d$
Hierin is d de gemiddelde afstand tussen de Aarde en de Maan. Zie ook figuur 2.
De massa van de satelliet is 4,3 . 102 kg.
c) Voer de volgende opdrachten uit:
- Bereken de afstand van de Aarde tot het lagrangepunt.
- Bereken de som van de gravitatiekracht van de Maan en de Aarde op de satelliet.
- Toon aan dat dit gelijk is aan de middelpuntzoekende kracht die nodig om de satelliet in de beschreven baan te houden.
- Invullen geeft:
$r=\left(\frac{7,35\cdot 10^{22}}{3\cdot 5,976\cdot 10^{24}} \right )^{1/3}\cdot 3,84\cdot 10^8=6,15\cdot 10^7 ~\mathrm{m}$
De afstand van de Aarde tot het lagrangepunt is dan: 4,45 . 108 m. - De gravitatiekracht van de Aarde is gelijk aan:
$F_{G,A} = G\cdot \frac{Mm}{r^2}=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{5,976\cdot 10^{24}\cdot 4,3\cdot 10^2}{(4,45\cdot 10^8)^2}=0,866~\mathrm{N}$
De gravitatiekracht van de Maan is gelijk aan:
$F_{G,M} = G\cdot \frac{Mm}{r^2}=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{7,35\cdot 10^{22}\cdot 4,3\cdot 10^2}{(4,45\cdot 10^8-3,84\cdot 10^8)^2}=0,567~\mathrm{N}$
De som van de gravitatiekrachten is 1,4 N. - De kracht die nodig os om de satelliet in de beschreven baan te houden volgt uit:
$F_{mpz}=\frac{mv^2}{r}$
Hierin is v de baansnelheid, gelijk aan:
$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\cdot 4,55\cdot 10^8}{2,37\cdot 10^6}=1206~\mathrm{ms}^{-1}$
De kracht is dan gelijk aan:
$F_{mpz}=\frac{mv^2}{r}=\frac{4,3\cdot 10^2\cdot 1206^2}{4,45\cdot 10^8}=1,4~\mathrm{N}$
In werkelijkheid beschrijft de satelliet een baan om het lagrangepunt heen. In onderstaand filmpje is dit duidelijk te zien vanaf seconde 22.
Doordat de satelliet niet altijd rechtstreeks achter de Maan staat is het mogelijk om elektromagnetische golven van de sonde via de satelliet naar de Aarde te versturen. Dit is weergeven in seconde 32 van bovenstaand filmpje. Zie ook onderstaand screenshot.
Ga ervan uit dat de afstand tussen de satelliet en de Maan en de Aarde gelijk is aan de afstand tussen het lagrangepunt en de Maan en de Aarde.
d) Bereken de tijd die nodig is om een signaal van de sonde naar de Aarde te verzenden.
$t=\frac{s}{c}=\frac{4,45\cdot 10^8+6,15\cdot 10^7}{3,0\cdot 10^8}=1,69~\mathrm{s}$
Aan boord van de satelliet bevindt zich een Nijmeegse antenne. Zie ook het artikel hierover op Omroep Gelderland. Deze antenne gaat radiogolven meten. Op Aarde kunnen we deze niet ontvangen. Deze golven worden namelijk verstoord door onze atmosfeer. Het is interessant om deze golven te meten, omdat ze elementaire informatie bevatten over het ontstaan van het heelal en de periode na de oerknal. De golven hebben een frequentie van 30 megahertz. De lengte van een ontvangstantenne is vaak ongeveer gelijk aan een halve golflengte.
e) Bereken de lengte van de gebruikte antennes.
De lengte van de antenne moet gelijk zijn aan:
$l=\frac{1}{2}\cdot \lambda = \frac{1}{2}\cdot \frac{c}{f}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3,0\cdot 10^8}{30\cdot 10^6}=5,0~\mathrm{m}$
In werkelijkheid zijn de antennes inderdaad ongeveer vijf meter lang. Zie bijvoorbeeld de website van de Radboud Universiteit Nijmegen.
