In 1969 is de komeet Churyumov-Gerasimenko ontdekt. Deze komeet beweegt in een ellipsvormige baan om de zon. In figuur 1 staat een bovenaanzicht van de baan.
De pijl geeft de bewegingsrichting van de komeet om de zon aan. De zon oefent een gravitatiekracht uit op de komeet.
Opgaven
a) Voer de volgende opdrachten uit:
- Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de gravitatiekracht op de komeet als een pijl met een lengte van 5 cm in de juiste richting.
- Ontbind deze kracht in een component langs de baan en een component loodrecht op de baan.
- Leg uit of de grootte van de snelheid van de komeet op dit punt in de baan verandert.
Aangezien een component van de resulterende kracht in de bewegingsrichting werkt zal de grootte van de snelheid veranderen.
Wetenschappers hebben een eerste schatting kunnen maken van de massa en de dichtheid van de komeet:
- De massa ligt tussen 0,9 · 1013 kg en 1,1 · 1013 kg;
- De dichtheid ligt tussen 500 kg m−3 en 550 kg m-3.
Zij willen berekenen wat de grootste waarde is die het volume van de komeet zou kunnen hebben.
b) Welke waarden moeten zij dan in hun berekening gebruiken?
A De grootste massa en de grootste dichtheid.
B De grootste massa en de kleinste dichtheid.
C De kleinste massa en de grootste dichtheid.
D De kleinste massa en de kleinste dichtheid.
B
Om Churyumov-Gerasimenko van dichtbij te kunnen onderzoeken is de ruimtesonde Rosetta gelanceerd. Na een reis van 10 jaar en 6,5 miljard kilometer is Rosetta aangekomen bij de komeet.
c) Bereken de gemiddelde snelheid in km s-1 van Rosetta tijdens de reis.
$v_{\mathrm{gem}}=\frac{s}{t}=\frac{6,5\cdot 10^9}{10\cdot 365\cdot 24\cdot 3600}=20,61 = 21~\mathrm{kms}^{-1}$
Rosetta draait in een cirkelvormige baan rondom de komeet. De baan heeft een straal van 20 · 103 m. De komeet heeft een massa van M = 1,0 · 1013 kg.
d) Bereken de baansnelheid van Rosetta.
De middelpuntzoekende kracht wordt in dit geval geleverd door de gravitatiekracht. Hieruit volgt:
$F_{mpz}=F_g\rightarrow \frac{mv^2}{r} = \frac{GmM}{v^2} \rightarrow v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
Invullen geeft de baansnelheid:
$v=\sqrt{\frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 1,0\cdot 10^{13}}{20\cdot 10^3}} = 0,1826 = 0,18~\mathrm{ms}^{-1}$
Rosetta doet vanuit haar baan metingen aan de komeet. Zo is de temperatuur van de komeet bepaald met behulp van de straling die door de komeet wordt uitgezonden. De straling die de komeet het meest uitzendt heeft een golflengte van 1,6 · 10-5 m.
e) Bereken de temperatuur van de komeet in °C.
$\lambda_{\mathrm{max}}\cdot T = k_w \rightarrow T = \frac{k_w}{\lambda_{\mathrm{max}}}=\frac{2,898\cdot 10^{-3}}{1,6\cdot 10^-5} =181~\mathrm{K}$
Gevraagd is de temperatuur in °C. Die is gelijk aan 181 - 273 = -92 °C.
Vanuit Rosetta is de komeetlander Philae naar de komeet afgedaald. Zie figuur 2.
De landing op de komeet is anders verlopen dan van tevoren was bedacht. Philae zou na de landing verankerd worden aan het oppervlak van de komeet. Dat is echter niet gebeurd, zodat Philae weer omhoog is gestuiterd na de landing. Zie figuur 3. De snelheid vlak voor de landing is 1,1 ms-1. Vlak na het opstuiten is de snelheid 0,38 ms-1.
f) Bereken hoeveel procent van de kinetische energie van Philae na de landing nog over is.
$\frac{E_{k,e}}{E_{k,b}}\cdot 100\% = \frac{\frac{1}{2}mv_e^2}{\frac{1}{2}mv_b^2 }\cdot 100\% =\frac{v_e^2}{v_b^2 }\cdot 100\% = \frac{0,38^2}{1,1^2}\cdot 100\% = 12\%$
De ontsnappingssnelheid is de snelheid die minimaal nodig is om te ontsnappen van een hemellichaam en er niet meer op terug te vallen. Hiervoor geldt:
$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
Hierin is G is de gravitatieconstante. Voor de komeet geldt:
- R = 2,9 km;
- M = 1,0 · 1013 kg.
g) Toon aan of Philae weer terug is gevallen naar de komeet.
De ontsnappingssnelheid is:
$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\cdot 1,0\cdot 10^{13}}{2,9\cdot 10^3}} = 0,6782=0,68~\mathrm{ms}^{-1}$
Dit is groter dan de snelheid die Philae heeft na het botsen. Philae zal dus weer terugvallen naar de komeet.
