Figuur 1 toont de kermisattractie Gravitron.
In de Gravitron nemen de passagiers plaats in een soort ton die gaat draaien. De passagiers blijven vanaf een bepaald toerental aan de wand van de ton ‘plakken’. Zie figuur 2.
In figuur 3 staat voor een rit in de Gravitron het toerental (het aantal omwentelingen per minuut) uitgezet tegen de tijd. De Gravitron heeft op de plaats waar de passagiers zich bevinden een diameter van 6,4 m.
Een passagier die in de Gravitron rondjes draait, legt tijdens de rit een aanzienlijke afstand af langs de cirkelbaan.
Opgaven
a) Bepaal deze afstand met behulp van figuur 3.
Het maximale aantal toeren in figuur 3 is 22 per minuut oftewel 0,367 per seconde. De oppervlakte onder de lijn komt dan overeen met het aantal rondjes:
aantal rondjes =0,5 . 40 . 0,367 + 140 . 0,367 + 0,5 . 30 . 0,367 = 64,17 rondjes.
Elk rondje komt overeen met een afstand van 2 . π . 3,2 = 20,11 m. De totale afstand die afgelegd wordt door een passagier in de Gravitron is dan 1,3 km.
In figuur 4 is schematisch een passagier getekend in de Gravitron. De passagier heeft een massa van 71 kg en ligt tegen de schuine wand van de ton. De Gravitron staat nog stil. Om te begrijpen hoe de krachten werken, gaan we uit van het volgende model:
- De kracht van de vloer op de passagier staat evenwijdig aan de wand.
- De wrijvingskracht stellen we op nul.
In figuur 4 is de zwaartekracht aangegeven met een vectorpijl. Op de passagier werken nog twee andere krachten.
b) Construeer in een print van figuur 4 de grootte en de richting van die twee andere krachten op de passagier. Laat in de tekening de krachten aangrijpen in punt Z.
De vraagstelling is niet helemaal duidelijk. In principe is bovenstaande tekening voldoende voor de volle punten. In veel gevallen wordt er gevraagd de grootte van de andere twee krachten te bepalen. In dat geval bereken je eerst de zwaartekracht: Fz = mg = 71 . 9,81 = 696,51 = 7,0 . 102 N.
Vervolgens kan de lengte van de vector van de zwaartekracht opgemeten worden om een krachtenschaal te bepalen. Met deze krachtenschaal kan je vervolgens de grootte van de andere twee krachten bepalen. Indien je dit netjes doet kom je uit op:
Fz// = 6,6 . 102 N
FzL = 2,4 . 102 N.
Als de Gravitron begint te draaien, verandert de normaalkracht van de wand op de passagier.
c) Leg uit dat die normaalkracht groter wordt.
Om de passagier rond te laten draaien moet er een middelpuntzoekende kracht zijn. Deze kracht wordt geleverd door de wand, oftewel de normaalkracht.
In werkelijkheid is er natuurlijk wel wrijvingskracht. Tijdens de rit halen veel passagiers allerlei capriolen uit tegen de wand. Zo kan een passagier ook ondersteboven tegen de wand gaan hangen. Zie figuur 5. Deze figuur is niet op schaal.
Een passagier probeert in de draaiende Gravitron zijn hoofd op te lichten van de wand met het hoofd boven (A) en met het hoofd beneden (B).
d) Voer de volgende opdrachten uit:
- Toon aan dat bij constante omlooptijd T voor de middelpuntzoekende kracht op een voorwerp met massa m in een cirkelbaan met straal r geldt:
$F_{\mathrm{mpz}} = \frac{4\pi^2 mr}{T^2}$
- Leg hiermee uit in welke situatie, A of B, het meer moeite kost om het hoofd op te lichten van de wand.
- Voor de middelpuntzoekende kracht geldt:
$F_{\mathrm{mpz}} = \frac{mv^2 }{r}$
Voor de baansnelheid geldt verder:
$v=\frac{2\pi r}{T}$
Combineren geeft:
$F_{\mathrm{mpz}} = \frac{m\left(\frac{2 \pi r}{T} \right )^2 }{r} = \frac{4m \pi^2 r^2}{rT^2}=\frac{4\pi^2 mr}{T^2}$ - Zoals je ziet in de vergelijking wordt de middelpuntzoekende kracht groter wanneer de straal groter is. In situatie A is het hoofd boven en daardoor de straal van de baan groter. Het zal de passagier hier dus meer moeite kosten om het hoofd op te lichten.
