In een filmpje op internet is te zien hoe enkele Russen met een staalkabel en houten planken een auto die door het ijs is gezakt weer boven water halen. Het filmpje is hieronder te zien.
Tussen de auto en het ijs zijn planken gezet waarlangs de auto naar boven getrokken kan worden. In het ijs is een ronde as geslagen waar een dwarsbalk aan is vastgemaakt.
De staalkabel tussen de auto en de as kan worden opgedraaid door tegen deze dwarsbalk te duwen. Zie de foto in figuur 1 en het zijaanzicht in figuur 2.
De planken maken een hellingshoek α met de bodem. Op de auto werken in deze situatie een spankracht, een normaalkracht en een kracht F recht omlaag. De kracht F is de resultante van de zwaartekracht omlaag en de kracht van het water op de auto omhoog. De auto wordt met constante snelheid tegen de helling naar boven getrokken.
Als de auto net is los getrokken van de bodem is de spankracht in de kabel 6,1 · 103 N. Een deel van figuur 2 staat op schaal afgebeeld in figuur 3. De spankracht en de werklijn van F zijn hierin getekend vanuit het zwaartepunt Z.
Opgaven
a) Voer de volgende opdrachten uit op een print van figuur 3:
- Construeer de kracht F en de normaalkracht vanuit punt Z.
- Bepaal de grootte van F met behulp van deze constructie.
Zie onderstaande constructie:
Vervolgens kan met een krachtenschaal de grootte van kracht F bepaald worden. Deze is gelijk aan 7,8 kN.
De lengte van het uiteinde van de balk tot het draaipunt S is 5,0 m. De as heeft een diameter van 18 cm. Zie het bovenaanzicht in figuur 4.
In het begin duwt één man tegen het uiteinde van de balk. Zie de krachtvector in figuur 4. Deze figuur is niet op schaal. De spankracht in de kabel is op dat moment 6,1 · 103 N.
b) Bereken de kracht waarmee de man tegen het uiteinde van de balk moet duwen om deze spankracht te kunnen leveren.
De arm van de spankracht is 9,0 cm. De arm van de kracht van de man is 5,0 m. De momentenwet geeft dan:
$F_1 r_1 = F_2 r_2 \rightarrow F\cdot 5,0 = 6,1\cdot 10^3 \cdot 9,0\cdot 10^{-2}\rightarrow F = 109,8 = 1,1\cdot 10^2 ~\mathrm{N}$
De kabel is gemaakt van koolstofstaal met een elasticiteitsmodulus van 0,20 · 1012 Nm-2 (1 Nm−2 = 1 Pa). De spankracht is 6,1 · 103 N. Tijdens het spannen rekt de kabel uit. De kabel heeft een doorsnede met een oppervlakte van 80 mm2 en een beginlengte van 15 m.
c) Bereken de lengteverandering van de kabel tijdens het spannen.
De spanning is in dit geval gelijk aan:
$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{6,1\cdot 10^3}{80\cdot 10^{-6}}=7,625\cdot 10^{7}~\mathrm{Pa}$
De relatieve rek is dan:
$E = \frac{\sigma}{\epsilon} \rightarrow \epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{7,625\cdot 10^7}{0,20\cdot 10^{12}}=3,8125\cdot 10^{-4}$
De lengteverandering van de kabel volgt dan eenvoudig:
$\epsilon = \frac{\Delta l}{l_0} \rightarrow \Delta l = \epsilon\cdot l_0 = 3,8125\cdot 10^{-4}\cdot 15=5,7\cdot 10^{-3}~\mathrm{m}$
Naarmate de auto verder uit het water komt, wordt de verticale kracht F op de auto groter en is er een grotere spankracht nodig. Daarom moeten drie mannen tegen de balk duwen op de plaatsen I, II en III. Zie figuur 5.
d) Welke man loopt met de grootste snelheid?
A. Man I
B. Man II
C. Man III
D. Iedere man loopt met dezelfde snelheid.
A
In het ontwerp zijn verschillende veranderingen mogelijk. In de tabel in figuur 6 staan enkele voorstellen voor veranderingen.
e) Kruis in een print van de tabel in figuur 6 per verandering aan of de kracht die één man op het einde van de dwarsbalk moet uitoefenen om de auto uit het ijs te takelen groter wordt, kleiner wordt of gelijk blijft.
