Sinds 2004 bestaat de mogelijkheid om met het ruimteschip SpaceShipOne een paar minuten in de ruimte te verblijven. In figuur 1 is getekend hoe dat gaat. Figuur 1 is niet op schaal.
Een speciaal daarvoor gemaakt vliegtuig (de White Knight) brengt het ruimteschip
SpaceShipOne naar een hoogte van ongeveer 15 km waar het ruimteschip wordt losgekoppeld. In de figuur zijn de punten a, b, c, d en e aangegeven.
- In punt a schakelt de raketmotor aan en dan gaat SpaceShipOne met een grote versnelling vrijwel verticaalomhoog.
- In punt b gaat de raketmotor uit.
- Punt c is het hoogste punt van de baan. Na het passeren van dit puntvalt SpaceShipOne terug naar de aarde.
- Na het passeren van punt d begint het ruimteschip door de luchtweerstand weer af te remmen.
- Vanaf punt e gaat SpaceShipOne als zweefvliegtuig verder tot de landing.
In figuur 2 staat de grafiek van de verticale snelheid vy als functie van de tijd van een vlucht van het ruimteschip. De tijdstippen die horen bij het passeren van de punten a, b, c en d zijn op de horizontale as aangegeven.
Tijdstip tc hoort bij het hoogste punt c van de baan.
Opgaven
a) Geef aan hoe dat uit de grafiek blijkt.
De (verticale) snelheid is daar gelijk aan 0.
b) Bepaal met behulp van een print van figuur 2 de versnelling in punt c.
De snelheid volgt uit een (v,t)-diagram door de helling van een raaklijn te bepalen. In onderstaande figuur is de raaklijn op tijdstip tc getekend:
De versnelling is dan gelijk aan:
$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-1200-1200}{320-69} = -9,56~\mathrm{ms}^{-2}$
Op een bepaalde hoogte ten opzichte van de aarde (maar ook aan het aardoppervlak zelf) geldt voor de valversnelling:
$g = \frac{GM}{r^2}$
Hierin is:
- G de gravitatieconstante (in Nm2 kg-2);
- M de massa van de aarde (in kg);
- r de afstand tot het middelpunt van de aarde (in m).
c) Bereken de valversnelling op 100 km hoogte.
De afstand tot het middelpunt van de aarde is gelijk aan de straal van de aarde plus de hoogte:
$r=R_{\mathrm{aarde}} + h = 6371 + 100 = 6471~\mathrm{km}$
De valversnelling is dan:
$g = \frac{GM}{r^2} = \frac{6,674\cdot 10^{-11}\cdot 5,972\cdot 10^{24}}{(6471\cdot 10^3)^2}=9,518~\mathrm{ms}^{-2}$
De inzittenden van het ruimteschip zijn op een deel van hun vlucht gewichtloos; dit betekent dat de normaalkracht op de inzittenden op dat moment gelijk is aan 0 N. In figuur 3 staat hierover een tabel.
d) Kruis in een print van figuur 3 aan of de inzittenden van het ruimteschip wel of niet gewichtloos zijn op de trajecten ab, bc, cd en in punt c.
Op tijdstip tb wordt de motor uitgeschakeld en bevindt het ruimteschip zich op een hoogte van 45 km. Op tijdstip tc wordt het hoogste punt bereikt. Mensen die op een hoogte van 100 km of meer zijn geweest, mogen zich astronaut noemen.
e) Toon met behulp van een print van figuur 2 aan of de inzittenden van het ruimteschip zich astronaut mogen noemen na de vlucht.
De afgelegde afstand volgt uit een (v,t)-diagram door de oppervlakte onder de lijn te bepalen. De oppervlakte tussen tijdstip tb en tc is gelijk aan:
$s = \frac{1}{2}\cdot (195-80)\cdot 1100 = 63,25~\mathrm{km}$
Op tijdstip tb was het ruimteschip al op 45 km hoogte. De totale hoogte is dus 45 + 63,25 = 108 km.
De inzittenden van het ruimteschip mogen zich na de vlucht dus astronaut noemen.
