Op 27 januari 2018 stond op nu.nl een artikel over een silicium bol met een diameter van bijna 10 cm. De bol weegt exact één kilogram en is een prototype voor de nieuwe standaardkilogram.
Huidige standaardkilogram
De huidige standaardkilogram staat in Parijs. Het is een cilinder gemaakt van een legering van platina en iridium, zie figuur 1. Volgens nu.nl heeft de cilinder een hoogte van 39 mm en een diameter van 39 mm. De verhouding tussen platina en iridium is zodanig dat het platina 90% aan de massa van de cilinder bijdraagt. De dichtheid van iridium is 22,6 . 103 kgm-3.
a) Controleer met een berekening of de massa van deze cilinder daadwerkelijk binnen de nauwkeurigheidsgrenzen één kilogram is. Bereken daartoe eerst het volume van de cilinder.
Het volume van de cilinder is:
$V=A\cdot h = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{1}{2}\cdot 39\cdot 10^{-3} \right )^2\cdot 39\cdot 10^{-3}=4,659\cdot 10^{-5}=4,7\cdot 10^{-5}~\mathrm{m}^3$
De cilinder bestaat uit 900 gram platina en 100 gram iridium. De dichtheid van platina is 21,5 . 103 kg/m3 en de dichtheid van iridium is 22,6 . 103 kg/m3. Het volume van de cilinder is:
$V=\frac{m_p}{\rho_p}+\frac{m_i}{\rho_i}=\left(\frac{0,900}{21,5\cdot 10^3} \right ) + \left(\frac{0,100}{22,6\cdot 10^3} \right )=4,629\cdot 10^{-5}=4,6\cdot 10^{-6}~\mathrm{m}^3$
Er zit een klein verschil tussen de twee antwoorden. Waarschijnlijk is de hoogte of de diameter van de cilinder dus net iets kleiner dan 39 mm.
b) Bereken het percentage van het volume dat door het platina ingenomen wordt.
Bij vraag 1 heb je al het volume van de cilinder uitgerekend. Het volume van het platina is:
$V=\frac{m_p}{\rho_p}=\frac{0,900}{21,5\cdot 10^3}=4,186\cdot 10^{-5}~\mathrm{m}^{3}$
Dit komt overeen met:
$\frac{4,196\cdot 10^{-5}}{4,659\cdot 10^{-5}}\cdot 100\% = 89,85\%=90\%$
Het massapercentage en het volumepercentage zijn binnen de gegeven significantie van de afmetingen van de cilinder dus aan elkaar gelijk!
De standaardkilogram is op dit moment de definitie van wat wij een kilogram noemen. Stel je voor dat er tijdens het schoonmaken iets fout gaat en een stukje van de standaardkilogram afbreekt en dat de standaardkilogram hierdoor 5,0% van zijn massa verliest. Een fabrikant van weegschalen ijkt zijn weegschaal vervolgens met deze lichtere standaardkilogram.
c) Bereken welke massa deze weegschaal zou aangeven wanneer jij op de weegschaal gaat staan.
Wanneer de standaardkilogram 5,0% minder zou wegen, past hij vaker in jouw massa. Je zou dan dus eigenlijk meer wegen dan jouw weegschaal aan zou geven.
Een voorbeeld: Stel, jouw massa is 70 kg. Dat betekent dat jouw massa gelijk is aan de massa van 70 standaardkilogrammen. De ‘standaardkilogram’ ‘weegt’ echter nog maar 950 gram. Jouw massa is dan dus gelijk aan 70 / 0,95 = 74 keer de standaardkilogram. De weegschaal van de fabrikant zou dus 74 kg aangeven.
Nieuwe standaardkilogram
De nieuwe standaardkilogram zou een bol silicium kunnen zijn. Zie ook figuur 2.
d) Toon aan dat de straal van een bol silicium met een massa van één kilogram gelijk is aan 4,68 cm.
De dichtheid van silicium is 2,33 . 103 kg/m3. Het volume van de bol van één kilogram is:
$V=\frac{m}{\rho}=\frac{1}{2,33\cdot 10^3}=4,2918\cdot 10^{-4}~\mathrm{m}^3$
De straal van de bol is dan:
$V=\frac{4}{3}\pi r^3 \rightarrow r = \left(\frac{3V}{4\pi} \right )^{1/3}=\left(\frac{3\cdot 4,2918\cdot 10^{-4}}{4\pi } \right )=4,679\cdot 10^{-2}~\mathrm{m}$
De straal van de bol is 4,68 cm.
De wetenschappers die deze bol gemaakt hebben stellen voor de kilogram te definiëren als de massa van het aantal silicium atomen in deze bol.
e) Bereken hoeveel siliciumatomen er in deze bol zitten.
De atoommassa van silicium is 28,09 u (zie Binas tabel 99). Het aantal siliciumatomen in de standaardkilogram is dan:
$\frac{1}{28,09\cdot 1,66054\cdot 10^{-27}}=2,144\cdot 10^{25}~\mathrm{siliciumatomen}$
Om een betrouwbarestandaard voor de kilogram te hebben moet de bol erg precies gemaakt worden. Een kleine afwijking in de straal geeft al een grote verandering in het aantal siliciumatomen.
Het volume van een bol met straal r is gelijk aan 4/3π r3 . Wanneer de straal van de bol Δr groter is, is de toename in het volume gelijk aan:
$\displaylines{\begin{aligned}\\ (1)~~~ \Delta V &= \frac{4}{3}\pi\left(3r^2\Delta r + 3\left(\Delta r \right )^2 r + \left(\Delta r \right )^3 \right ) \\ (2)~~~ \Delta V \approx 4\pi r^2 \Delta r\end{aligned}}$
f) Voer de volgende opdrachten uit:
- Laat zien dat formule (1) correct is.
- Leg uit waarom formule (2) volgt uit formule (1).
Deel 1: Aantonen dat formule (1) correct is.
$\displaylines{\begin{aligned}\\ \Delta V &= \frac{4}{3}\pi(r+\Delta r)-\frac{4}{3}\pi r^3 \\ \Delta V &= \frac{4}{3}\pi\left(r^2 + 2r\Delta r + \left(\Delta r \right )^2 \right )\left(r+\Delta r \right ) - \frac{4}{3}\pi r^3 \\ \Delta V &= \frac{4}{3}\pi\left(r^3+2r^2\Delta r + r\left(\Delta r \right )^2 + r^2\Delta r + 2r\left(\Delta r \right )^2+\left(\Delta r \right )^3 \right ) - \frac{4}{3}\pi r^3 \\ \Delta V &= \frac{4}{3}\pi\left(3r^2\Delta r + 3\left( \Delta r\right )^2 r + \left(\Delta r \right )^3 \right )\end{aligned}}$
Deel 2: uitleggen waarom formule (2) uit formule (1) volgt
Als Δr < r, dan (Δr)2 << r2. De tweede term tussen haakjes is dan heel veel kleiner dan de eerste term en kan verwaarloosd worden. Hetzelfde geldt natuurlijk ook voor de derde term tussen haakjes, met (Δr)3. Wanneer deze termen verwaarloosd worden hou je over:
$\Delta V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \Delta r = 4\pi r^2 \Delta r$
g) Bereken hoeveel siliciumatomen er meer in een bol zitten als de straal 1,0 nanometer groter zou zijn. Vind je dit een groot aantal?
De toename van het volume is dan:
$\Delta V = 4\pi r^2 \Delta r = 4 \pi \left(0,0468) \right )^2\cdot 1\cdot 10^{-9}=2,75\cdot 10^{-11}~\mathrm{m}^3$
De massa hiervan is:
$m=\rho V = 2,33\cdot 10^3 \cdot 2,75\cdot 10^{-11}=6,41\cdot 10^{-8}~\mathrm{kg}$
Het aantal siliciumatomen is:
$\frac{6,41\cdot 10^{-8}}{28,09\cdot 1,66504\cdot 10^{-27}}=1,4\cdot 10^{18}~\mathrm{siliciumatomen}$
Dit is een heel groot aantal atomen. De bol moet dus extreem nauwkeurig gemaakt zijn!
