De waterglijbaan in Nijmegen is zo steil als de helling waarop hij wordt aangelegd. De Gelderlander van 26 mei 2017 schrijft dat op de trappen langs het Holland Casino een waterglijbaan is aangelegd van 200 meter, die een grote publiekstrekker blijkt te zijn. Het water stroomt door een tunnelbuis zonder bochten.
Tim Giesbers (19) vond het best snel gaan. Hij kreeg er een echt achtbaangevoel bij. Hij denkt dat hij op het laatste stuk zeker harder ging dan 30 kilometer per uur. "Dat kan kloppen", stelt de krant, "want de laatste 50 meter heeft een hellingspercentage van 25."
Op een waterglijbaan word je op een luchtbed of band meegevoerd door het stromend water.
a) Waardoor krijgt het water zijn snelheid?
b) Leg uit dat de snelheid van het water aan het eind zeker niet alleen bepaald wordt door het hellingspercentage op de laatste 50 meter.
Onder hellingsgraad verstaan we Δh/Δx . 100%. Het gaat dus om het hoogteverschil als percentage van de horizontale verplaatsing. Veronderstel dat water zonder beginsnelheid uitstroomt op een helling van 50 meter lengte met een helling van 25% en dan zonder wrijving naar beneden gaat.
c) Check met een energiebeschouwing dat het water dan met meer dan 30 km/h beneden aankomt.
Een filmpje van Nijmeegse glijbaan staat hieronder:
Dit filmpje laat zien dat het water zeker niet wrijvingloos naar beneden gaat. De waterstroom is bovendien zo ondiep dat er beslist wrijving zal zijn tussen luchtbed en bodem van de baan. Je snelheid zal daardoor heel wat kleiner zijn dan wat bij c. berekend is. Laten we er dus van uitgaan dat de wrijving niet verwaarloosbaar is.
d) Beredeneer dat TimGiesbers op zijn luchtbed aan het eind bij benadering eenparig beweegt.
e) Bereken hoe lang hij over de laatste 50 meter zou doen als de veronderstelling van de krant klopt.
f) Bevestigt het filmpje deze conclusie? (Zie het stukje na t=46 s.)
g) Wat maakt dat Tim een ‘achtbaangevoel’ kreeg? Wat vind jij?
Als gevolg van het hoogteverschil tussen ‘start’ en ‘finish’, dus door de zwaartekracht die op het water werkt.
Uitwerking vraag (b)
Het maakt natuurlijk veel uit hoe steil de eerste 150 meter is. Als dit deel nauwelijks helt komt het water met verwaarloosbare beginsnelheid bij het laatste stuk aan. Als daarentegen het eerste stuk ook steil is, dan begint het al met een flinke snelheid aan de laatste 50 meter, met als gevolg dat een hogere eindsnelheid bereikt wordt.
Uitwerking vraag (c)
Aangenomen dat de wrijving van het water met de glijbaan verwaarloosbaar is, is de afname van de zwaarte-energie (ΔEz = mgΔh) gelijk aan de toename van de bewegingsenergie (½mΔv2). Dus mgΔh = ½mve2 – ½mvb2. We veronderstelden vb = 0. Dus mgΔh = ½mve2, of ve2 = 2gΔh.
Eerst berekenen we Δh. De afstand langs de helling is 50 m. Vanwege het hellingspercentage geldt Δh = 0,25 . Δx. Dus Δx = Δh / 0,25.
$\displaylines{\begin{aligned}\\ 50^2 &= \left(\Delta h \right )^2 + (\Delta h/0,25)^2=17(\Delta h)^2 \\ \Delta h &= \sqrt{\frac{50^2}{17}}=12,1~\mathrm{m} \\ v_e^2 &= 2g\Delta h &= 2 \cdot 9,8 \cdot 12,1 \\ v_e &= 15~\mathrm{ms}^{-1}=55~\mathrm{kmh}^{-1}.\end{aligned}}$
Dat is dus al meer dan de genoemde 30 kmh-1.
Uitwerking vraag (d)
De wrijving wordt groter naarmate de snelheid toeneemt. Op gegeven moment is de wrijvingskracht even groot geworden als de component van de zwaartekracht langs de helling. Vanaf dan is de beweging eenparig.
Uitwerking vraag (e)
Eenparige beweging: Δt = Δx / v = 50 / (30/3,6) = 6,0 s. Afgerond 6 s. Tim ging minstens 30 km/h, dus dit is de maximale tijd.
Uitwerking vraag (f)
Ja, het klopt heel aardig. Het meisje begint aan de afdaling op t=48 s en arriveert beneden op t=55. Ze doet er dus 7 s over. Haar snelheid lijkt in het begin nog versneld te zijn.
Uitwerking vraag (g)
Tim denkt aan de snelheid die hij kreeg. Maar is het spannende bochtenwerk en het dreigende uit de baan vliegen niet karakteristiek voor de echte achtbaan? Dat ontbreekt hier.
