Voor de piste van St. Moritz ontwierp voormalig olympisch kampioen Bernhard Russi een speciale helling. Nergens zijn de eerste meters steiler, staat in de NRC van 11 februari 2017. Het beginstuk heeft een hellingspercentage van 100 procent, dat wil zeggen dat de hoek met de horizon 45o is. Russi doopte dit stuk de ‘Vrije Val'. Volgens de krant is binnen vier seconden een snelheid van 100 kilometer per uur bereikt, drie tellen later opgevoerd tot 130.
a) Bereken de gemiddelde versnelling in de eerste vier seconden.
b) Vergelijk dit met de vrije val.
c) Idem in de volgende drie seconden.
d) Welke snelheid zou in zeven seconden bereikt worden bij een echt vrije val?
Het hoogteverschil tussen start en finish op deze piste bedraagt 800 m en het gemiddelde hellingspercentage is 29. Bij de mannen won de Zwitser Beat Feuz in een tijd van 1:38.91.
e) Bereken de lengte van het parcours - dus gemeten langs de helling -, uitgaande van het gemiddelde hellingspercentage.
f) Bereken de gemiddelde snelheid van Feuz bij zijn winnende race. Gebruik de bij d. berekende lengte van het parcours.
g) Als je het hele traject bekijkt, waar is de beweging versneld, waar eenparig en waar vertraagd?
h) Wat kun je dan zeggen over de wrijvingskracht tussen skiër en baan?
$a_{\mathrm{gem}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{(100 / 3,6)}{4} = 7~\mathrm{ms}^{-2}$
Uitwerking vraag (b)
Bij een vrije val is de versnelling 9,8 ms-2. Dit eerste stuk komt inderdaad in de buurt.
Uitwerking vraag (c)
$a_{\mathrm{gem}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{(30/3,6)}{3}=3~\mathrm{ms}^{-2}$
Uitwerking vraag (d)
v = gt = 9,8 . 7 = 39,2 ms-1 = 140 kmh-1.
Uitwerking vraag (e)
De krant stelt dat een helling van 100% betekent dat de hoek van 45o is. Bij het berekenen van het hellingspercentage gaat men dus uit van het hoogteverschil ten opzichte van de horizontale verplaatsing. Hier geldt dus Δh / Δx = 0,29
Δx = Δh/0,29 = 800/0,29 = 2759 m.
De afgelegde weg langs de helling is dan:
$\sqrt{800^2+2759^2}=2872=2,9 \cdot 10^3~\mathrm{m}$ ,
als het hellingspercentage overal 29 zou zijn. Afgerond: 3 km.
Uitwerking vraag (f)
$v_{\mathrm{gem}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{2872}{60 + 38,91} = 29,0~\mathrm{ms}^{-1}=105~\mathrm{kmh}^{-1}=1,1\cdot 10^2 ~\mathrm{kmh}^{-1}$
Uitwerking vraag (g)
Het eerste stukje was het steilst. De skiër bereik na vier seconden al een snelheid van 100 kmh-1. Ook in de volgende drie seconden nam zijn snelheid nog toe. Dus op die eerste zeven seconden was de beweging beslist versneld. Maar de dan bereikte snelheid is ook vrijwel gelijk aan de gemiddelde snelheid over het hele traject. De rest van de afdaling is dus – na het eerste stukje ‘vrije val’– in goede benadering te beschouwen als een eenparige beweging. De snelheidsduivel zal niet willen dat zijn beweging ergens vertraagt alvorens de finish is bereikt.
Uitwerking vraag (h)
Als de beweging eenparig is, is kennelijk de resulterende kracht op de skiër nul. De wrijvingskracht is even groot als (maar tegengesteld gericht aan) de component van de zwaartekracht langs de helling.
