In het Tikibad in Wassenaar staat de attractie X-stream. Zie figuur 1.
In figuur 2 zijn de voornaamste onderdelen aangegeven.
In figuur 3 staat een grotere tekening op schaal van een zijaanzicht van de X-stream.
De X-stream werkt als volgt. Een persoon staat in een cabine op een luik. Het luik klapt weg en de persoon valt naar beneden door een buis die via een bocht in een horizontaal stuk eindigt. De positie van de persoon in de cabine is aangegeven met de letter A. Het begin van het gebogen stuk is aangegeven met de letter B. Bij punt C begint het horizontale stuk. Zie figuur 3. In de opgave verwaarlozen we de luchtwrijving.
Tijdens de beweging in de buis komt de persoon niet los van de buis.
Opgaven
a) Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef aan waarom er in buisdeel AB geen sprake is van een vrije val.
- Bepaal met behulp van figuur 3 de versnelling die de persoon zal krijgen in buisdeel AB als de wrijvingskrachten worden verwaarloosd.
Bij het ontwerp van de attractie is aan een aantal eisen voldaan.
Twee ervan zijn:
- De snelheid van de persoon bij punt C is maximaal 11 m s-1.
- Door de wrijvingskracht ontstaat warmte. Het remmend vermogen van de wrijvingskracht bij punt C mag maximaal 1,5 · 103 W zijn.
b) Bereken de maximale grootte van de wrijvingskracht bij punt C bij een snelheid van 11 m s-1.
De wrijvingskracht die de persoon ondervindt, kan verminderd worden door meer water van bovenaf in de buis te laten stromen. De snelheid waarmee de persoon in punt C aankomt, hangt onder andere af van de wrijvingskracht en van de afstand AB. Om de invloed hiervan te onderzoeken wordt een sterk vereenvoudigd model gemaakt, waarbij de baan wordt verdeeld in drie gedeelten. Zie figuur 4.
In figuur 5 en 6 staat het model.
In het model geldt:
- s is de afgelegde weg langs de baan,
- de toevoegingen AB, BC en AC geven aan tussen welke punten.
Een andere waarde van k betekent dat er meer of minder water door de buis stroomt.
c) Voer de volgende opdrachten uit:
- Leg uit of een grotere waarde van k betekent dat ‘er meer water door de buis stroomt’ of dat er ‘er minder water door de buis stroomt’.
- Leid de eenheid van k af.
In een simulatie van het model wordt sAB zo gekozen dat de snelheid in C gelijk is aan 11 m s-1. Het (v,t)-diagram dat hiervan het resultaat is, staat in figuur 7.
d) Bepaal met behulp van figuur 7 de waarde van sAB die bij dit resultaat van het model hoort.
Een derde eis voor de X-stream is dat de persoon op het horizontale stuk (het buisdeel CD) op tijd tot stilstand komt. Dit kan door er voor te zorgen dat in buisdeel CD een diepe laag water staat. De persoon remt dan door dit water. De remkracht kan vergroot worden door het water dieper te maken.
Het model van figuur 5 en 6 kan worden uitgebreid voor dit deel van de beweging over buisdeel CD. Dit kan bijvoorbeeld door één of meer modelregels, startwaarden en/of stopvoorwaarden (stopcondities) toe te voegen of aan te passen.
Neem aan dat de extra remkracht evenredig is met het kwadraat van de snelheid. Neem voor de evenredigheidsconstante de waarde 17.
e) Leg uit hoe het model uitgebreid moet worden om ook de beweging in buisdeel CD te beschrijven.
In werkelijkheid is het buisdeel BC niet als een recht stuk ontworpen, maar als een deel van een cirkel.
f) Geef hiervoor de natuurkundige reden.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
- In buisdeel AB beweegt de persoon niet verticaal naar beneden, maar langs de buis omlaag.
- De hellingshoek kan afgelezen worden uit de figuur en is 77°. De versnelling is dan:
$a=g\cdot \sin(\alpha) = 9,81\cdot \sin(77)=9,6~\mathrm{ms}^{-2}$
Uitwerking vraag (b)
Het vermogen en de snelheid zijn gegeven. De maximale grootte van de wrijvingskracht is gevraagd. Dit volgt eenvoudig uit:
$P=Fv\rightarrow F = \frac{P}{v}=\frac{1,5\cdot 10^3}{11} = 1,4\cdot 10^2~\mathrm{N}$
Uitwerking vraag (c)
- Als er meer water door de buis stroomt, is er minder wrijvingskracht. In het model zie je dat de wrijvingskracht evenredig is met k. Een grotere waarde van k betekent dus dat er minder water door de buis stroomt.
- Om de eenheid van k te vinden gebruiken we de modelregel waarin de wrijvingskracht bepaald wordt:
$[k] =\frac{[F_w]}{[m]\cdot [g]\cdot [\cos(\mathrm{hoek})]}=\frac{N}{kg\cdot ms^{-2}}=1$
k heeft geen eenheid.
Uitwerking vraag (d)
Op tijdstip t = 0,92 s is er een knik in de snelheid te zien in figuur 7. Hier gaat de persoon dus van buis AB naar BC. De afstand die hij dan afgelegd heeft volgt uit de oppervlakte onder de lijn en is gelijk aan:
$sAB = \frac{1}{2}\cdot 0,92 \cdot 8,3 = 3,8~\mathrm{m}$
Uitwerking vraag (e)
Wanneer de persoon zich op buisdeel CD bevindt moet er een extra wrijvingskracht opgeteld worden. Deze is evenredig met het kwadraat van de snelheid en heeft een evenredigheidsconstante gelijk aan 17. Laten we de evenredigheidsconstante k2 noemen. We moeten dan om te beginnen twee regels aan het model toevoegen:
1) Startwaarde: k2 = 17
2) Modelregel: als s > sAC dan Fw = Fw + k2 * v^2 eindals
Als de persoon eenmaal stil staat stopt het model. Dit voegen we toe met de volgende regel:
3) Stopvoorwaarde: v < 0
Uitwerking vraag (f)
Door de rechte lijn is er ineens een knik in de baan. Door dit stuk rond te maken krijgt de persoon minder schokken te verduren.
