Astronaut Buzz reist met een ruimteschip met 60% van de lichtsnelheid van de aarde weg. Buzz heeft contact met een controlepost op aarde. Hij vertelt gedurende 45 seconde aan de controlepost dat alles in orde is.
Let op: gezien vanuit de controlepost loopt de tijd bij Buzz niet alleen langzamer, maar omdat hij zich verplaatst ontvangt de controlepost het eind van het signaal ook later.
Vraag a. Bereken hoe lang de boodschap volgens de controlepost duurt. De duur van de boodschap, $\Delta t_b$ , bereken je met de formule voor de tijdrek. De relativistische factor bereken je met de formule voor de gammafactor.
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
Dus:
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,\!6^2}} = 1,\!25$
$\Delta t_b = \gamma \cdot \Delta t_e = 1,\!25 \cdot 45 = 56,\!25 \text{ s}$
Dit is de tijdsduur van de boodschap zoals de controlepost die van het bewegende inertiaal stelsel zou berekenen. Maar dat is niet het antwoord op de vraag. Daarvoor moet je namelijk het tijdsverschil nemen (vanuit de controlepost gezien) tussen de ontvangst van het begin van het signaal en de ontvangst van het eind van het signaal vanuit het inmiddels flink verplaatste ruimteschip van Buzz. Bij die verplaatsing hoort een afstand en de tijd die de radioboodschap over deze afstand doet moet je optellen bij het de boven berekende $\Delta t_b$ . We gaan er hierbij vanuit dat het ruimteschip in een rechte lijn van de aarde af beweegt.
Aangezien Buzz met 60% van de lichtsnelheid beweegt, zal zijn afgelegde afstand (gezien van uit de controlepost) $56,25\cdot 0,6 = 33,75$ lichtseconde zijn. De extra tijd van de radioboodschap is dan dus 33,75 seconde.
Dus de waargenomen tijdsduur tussen begin en eind van de radioboodschap is: 56,25 + 33,75 = 90 s.
Alternatief voor vraag a. Er is ook een andere manier om vraag a te beantwoorden, namelijk met het Doppler-effect en de relativistische formule daarvoor (zie BINAS tabel 35E6). Kun je die zelf bedenken?
Die formule is: $f_e = f_b\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}$ waarin $f_b$ de frequentie van de bron is (ruimteschip van Buzz) en $f_e$ de ontvangen frequentie door de controlepost is.
Let op: deze formule is precies de omgekeerde van die in BINAS staat.
Omdat we toch verhoudingen van snelheden berekenen, kunnen we voor $v$ de fracties van de lichtsnelheid $c$ gebruiken. Dan geldt:
$f_e = \frac{1}{45}\sqrt{\frac{0,4}{1,6}}=\frac{1}{45}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{90}\: Hz$
Ofwel het tijdsinterval is 90 s.
Vraag b. Leg uit dat zijn stem lager klinkt in de controlepost.
De toonhoogte volgt uit de frequentie. Voor de frequentie geldt:
$f = \frac{1}{T}$
Het aantal trillingen blijft gelijk. Vanwege tijdrek wordt dezelfde boodschap gedurende een grotere tijd uitgesproken. De trillingstijd is dus groter en daardoor is de frequentie kleiner. Zijn stem klinkt dus lager.
De hartslag van astronaut Buzz is 70 slagen per minuut. Zijn hartslag wordt door de controlepost op aarde beluisterd.
Vraag c. Bereken hoeveel slagen zijn hart per minuut maakt volgens de controlepost.
Voor het antwoord kunnen we het best de alternatieve methode van vraag a gebruiken. De hartslag is 70 slagen per minuut, dus de hartslagfrequentie:
$f_b = \frac{60}{70} \: Hz$
De ontvangen frequentie is dus:
$f_e = \frac{70}{60}\sqrt{\frac{0,4}{1,6}}=\frac{35}{60}\: Hz$
Dus het aantal slag per minuut is 35.
