In de tijd van de Koude Oorlog droomde het Amerikaanse leger van communicatiesatellieten in de ruimte. Men kwam op het idee om een kunstmatige ring van kleine koperen naaldjes rond de aarde te maken. Via die naaldjes kon er dan met radiosignalen over grote afstanden gecommuniceerd worden.
Op 9 mei 1963 werden 480 · 106 kleine koperen naaldjes in een ring om de aarde gebracht. Figuur 1 geeft een artist’s impression van deze ring om de aarde.
Elk cilindervormig naaldje was 1,8 cm lang en had een massa van 40 μg.
De diameter van een mensenhaar is 50 μm.
Opgaven
a) Laat met een berekening zien of zo’n naaldje dunner is dan een mensenhaar.
De lengte van een naaldje was gelijk aan de helft van de golflengte van de microgolfstraling die voor de communicatie werd gebruikt.
b) Bereken de frequentie van deze straling.
Als een naaldje door deze straling werd geraakt, ging het als een antenne werken. Het naaldje zond dan deze straling weer uit. Het lukte om signalen met 2,0 ⋅ 104 bits per seconde te verzenden via de naaldjes in de ruimte. Een digitale foto van nu is 5 megabyte (MB). In het dataverkeer is 1 byte gelijk aan 8 bits.
c) Bereken hoeveel uur het zou duren om een foto van 5 MB via de naaldjes te verzenden.
De naaldjes bewogen op 3,70 · 103 km boven de evenaar in een cirkelbaan rond de aarde. Voor de snelheid van een naaldje geldt:
$v=\sqrt{G\frac{M}{r}}$
Hierin is:
− G de gravitatieconstante;
− M de massa van de aarde;
− r de straal van de cirkelbaan.
Er waren veel naaldjes nodig om gedurende langere tijd signalen te kunnen versturen. Een enkel naaldje was maar kort binnen bereik van de zender op aarde. Dit was omdat de omlooptijd van een naaldje om de aarde korter was dan de tijd Taarde die de aarde nodig heeft voor een rotatie om haar eigen as.
d) Bereken de omlooptijd van een naaldje.
De baanstraal en de snelheid van een naaldje werden constant beschouwd.
e) Kies in beide onderstaande zinnen het juiste alternatief:
- De naaldjes bevonden zich hoger dan / in / lager dan de geostationaire baan.
- De middelpuntzoekende kracht op een naaldje was groter dan / kleiner dan / gelijk aan de gravitatiekracht op een naaldje.
De ring van naaldjes bleef uiteindelijk niet intact. Inmiddels zijn bijna alle 480 · 106 naaldjes gelijkmatig verdeeld weer op de aarde terechtgekomen op een strook die 20% van het aardoppervlak in beslag neemt. De NASA was van plan om enkele naaldjes te gaan zoeken om te bestuderen wat het effect van een verblijf in de ruimte geweest is. Om de haalbaarheid van deze zoektocht te beoordelen was het voor de NASA belangrijk in te schatten hoeveel naaldjes er per km2 te vinden zouden zijn.
f) Bereken hoeveel naaldjes er gemiddeld per km2 terechtgekomen zijn.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Het volume van 1 naaldje is gelijk aan:
$V = \frac{m}{\rho} = \frac{40\cdot 10^{-9}}{8,96 \cdot 10^3}= 4,46\cdot 10^{-12}~\mathrm{m}^3$
Het volume van een cilindervormig naaldje is gelijk aan de grondoppervlakte A keer de lengte van een naaldje. Voor de grondoppervlakte geldt dus:
$A=\frac{V}{l} = \frac{4,46\cdot 10^{-12}}{0,018} = 2,48\cdot 10^{-10}~\mathrm{m}^2$
De dikte van de naald is:
$A=\frac{1}{4}\pi d^2 \rightarrow d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\cdot 2,48\cdot 10^{-10}}{\pi}} = 1,8\cdot 10^{-5}~\mathrm{m} = 18~\mu\mathrm{m}$
Dit is dunner dan eenmensenhaar.
Uitwerking vraag (b)
$c=\lambda f\rightarrow f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3,00\cdot 10^8}{2\cdot 0,018} = 8,3\cdot 10^9~\mathrm{Hz}$
Uitwerking vraag (c)
Een foto bestaat uit 5 . 106 . 8 = 4 . 107 bits.
Het verzenden van zoveel bits duurt:
t = 4 . 107 / 2 . 104 = 2000 s = 0,6 h.
Uitwerking vraag (d)
De snelheid van een naaldje is gelijk aan:
$v=\sqrt{G\frac{M}{r}} = \sqrt{6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{5,972\cdot 10^{24}}{3,70\cdot 10^6 + 6,371\cdot 10^6}} = 6,291\cdot 10^3~\mathrm{ms}^{-1}$
De omlooptijd volgt dan uit:
$v=\frac{2\pi r}{T} \rightarrow T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot\left(3,70\cdot 10^6 + 6,371\cdot 10^6 \right )}{6,291\cdot 10^3}=1,01\cdot 10^4~\mathrm{s}$
Uitwerking vraag (e)
- De naaldjes bevonden zich lager dan de geostationaire baan.
- De middelpuntzoekende kracht op een naaldje was gelijk aan de gravitatiekracht op een naaldje.
Uitwerking vraag (f)
De totale oppervlakte van de aarde is:
$A_{\mathrm{aarde}} = 4\pi r^2 = 4\pi \left(6,371\cdot 10^3\right )^2 = 5,101\cdot 10^8~\mathrm{km}^2$
Het totale aantal naaldjes is verdeeld over 20% van dit oppervlakte. Het aantal naaldjes per km2 is dan:
$\frac{480\cdot 10^6}{0,20 \cdot 5,101\cdot 10^8} = 4,7$
