Soms kan een spaak in een fietswiel plotseling breken, zie figuur 1.
In een onderzoek naar de oorzaak hiervan, worden roestvrijstalen spaken in een fietswiel gemonteerd. Als een spaak in het fietswiel wordt gemonteerd, wordt de spaak ook gespannen. Dit wordt voorspannen genoemd. In dit onderzoek krijgt een roestvrijstalen spaak een spanning van 190 MPa (= 190 · 106 Nm−2). De doorsnede van de spaak is 2,63 mm2.
Opgaven
a) Bereken de spankracht in de voorgespannen spaak.
b) Bereken de (relatieve) rek van de voorgespannen spaak.
Een spaak kan breken bij een spanning die kleiner is dan de treksterkte van het metaal. De breuk wordt dan veroorzaakt doordat het metaal is verzwakt door het afwisselend afnemen en toenemen van de spanning. Dit verschijnsel wordt metaalmoeheid genoemd.
In figuur 2 is schematisch getekend hoe metaalmoeheid kan optreden in de spaak van een fietswiel. Door de zwaartekracht Fz op de fiets en de fietser wordt de spaak afwisselend ingeduwd (links) en uitgerekt (rechts).
In het onderzoek is de spanning in de spaak gemeten tijdens het fietsen. In figuur 3 zijn de meetresultaten weergegeven.
b) Bepaal met behulp van figuur 3 de frequentie in 3 significante cijfers waarmee de spanning tijdens het fietsen wisselt.
Bij metaalmoeheid hangt de levensduur van een spaak af van de spanningsamplitude. Voor de spanningsamplitude geldt:
$\sigma_A = \frac{\sigma_{\mathrm{max}}-\sigma_{\mathrm{min}}}{2}$
De levensduur N is het aantal wielomwentelingen dat de spaak kan ondergaan tot hij breekt. In figuur 4 is het (σA,N)-diagram van de spaak in dit onderzoek gegeven. De horizontale as heeft een niet-lineaire schaalverdeling.
d) Beantwoord de volgende vragen:
− Bepaal met behulp van figuur 3 en figuur 4 de spanningsamplitude van de spaak.
− Leg hiermee uit of deze spaak 1 · 107 wielomwentelingen kan halen.
Vervolgens wordt de spaak strakker aangespannen. De voorspanning en de spanningsamplitude worden hierdoor verhoogd. De spanningsamplitude σA wordt nu 120 MPa. De diameter van het gebruikte wiel is 70 cm.
e) Bepaal met behulp van figuur 4 na hoeveel
kilometer de spaak zal breken.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
$\sigma = \frac{F}{A}\rightarrow F = \sigma A = 190\cdot 10^6 \cdot 2,63\cdot 10^{-6}=5,00\cdot 10^{2}~\mathrm{N}$
Uitwerking vraag (b)
$E=\frac{\sigma}{\epsilon}\rightarrow \epsilon = \frac{\sigma}{E}$
Hierin is E de elasticiteitsmodulus van roestvrijstaal. Deze vind je in Binas en is gelijk aan 0,20 . 1012 Pa.
Invullen geeft:
$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{190\cdot 10^6}{0,20\cdot 10^{12}} = 9,5\cdot 10^{-4}$
Uitwerking vraag (c)
Eerst lezen we de periode van de spaak af. Tussen t = 0,02 s en t = 1,87 s zijn er 7 trillingen. De trillingstijd is:
$T = \frac{1,87 - 0,02}{7} = 0,264~\mathrm{s}$
De frequentie is dan:
$f=\frac{1}{T} = \frac{1}{0,264} = 3,78~\mathrm{Hz}$
Uitwerking vraag (d)
- De minimale waarde van de spanning is 130 MPa. De maximale waarde van de spanning is 197 MPa. De spanningsamplitude is:
$\sigma_A = \frac{\sigma_{\mathrm{max}}-\sigma_{\mathrm{min}}}{2} = \frac{197 - 130}{2} = 33,5 = 34~\mathrm{MPa}$
- Voor 1 . 107 omwentelingen moet de spanningsamplitude minstens 100 MPa zijn. De spanningsamplitude voor de spaak is lager, dus het wiel kan (minimaal) 1 . 107 wielomwentelingen maken.
Uitwerking vraag (e)
Bij de gegeven spanningsamplitude hoort volgens figuur 4 een N van 3,0 . 106.
De afstand die in 1 omwenteling afgelegd wordt is:
$s = 2\pi r = 2\pi\cdot 0,35 = 2,2~\mathrm{m}$
De spaak breekt dan dus na een afstand van:
$3,0\cdot 10^6 \cdot 2,2 = 6,6\cdot 10^6 = 6,6\cdot 10^3~\mathrm{km}$
