Lees onderstaand artikel.
Uit de beweging van Sirius A, de helderste ster aan de hemel, voorspelde men al in 1844 dat Sirius een dubbelster is. De zwakker stralende begeleider, Sirius B, een witte dwerg, werd in 1862 ontdekt.
In 1914 ontdekte de astronoom Adams dat Sirius B ongeveer zo zwaar is als de zon en ongeveer zo groot is als de aarde.
Het was met de toenmalige stand van de wetenschap niet te begrijpen hoe zo’n object kon bestaan. Het duurde tot de komst van de quantumfysica voordat men begreep waarom zo’n supercompact object niet onder zijn eigen zwaartekracht in elkaar stort. Om dat te verklaren wordt Sirius B in de quantumfysica beschreven als één gigantisch atoom met 1057 elektronen!
Het continue emissiespectrum van Sirius B heeft de grootste intensiteit bij λ = 115 nm.
Opgaven
a) Bereken de temperatuur van Sirius B.
Sirius B bestaat uit een plasma: een verzameling losse kernen en vrije elektronen. Hij bestaat vooral uit 126C en 168O met een mantel van 42He. Voor het aantal elektronen in Sirius B geldt: Ne = 6 . 1056.
b) Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef de reden dat het aantal elektronen Ne in Sirius B de helft is van het aantal kerndeeltjes.
- Laat hiermee en met de gegevens uit het artikel met een berekening zien dat de orde van grootte van Ne klopt.
Het volume van Sirius B is gelijk aan 8,1 . 1020 m3. De elektronen in Sirius B zitten dicht op elkaar. Om de gemiddelde onderlinge afstand d te schatten stellen we het volume dat één elektron inneemt gelijk aan d3. Dan geldt voor de gemiddelde onderlinge afstand:
d = 1 . 10-12 m.
c) Toon aan met een berekening dat dan geldt: d = 1 . 10-12 m.
Omdat de elektronen in Sirius B zo dicht op elkaar zitten, is er een vereenvoudigd quantummodel opgesteld: alle elektronen van Sirius B bevinden zich in een één-dimensionale energieput met L = 5,8 . 106 m.
In dit quantummodel wordt Sirius B dus beschouwd als één gigantisch atoom. Net als bij een gewoon atoom kunnen niet alle elektronen hetzelfde energieniveau bezetten: hoe meer elektronen er zijn, des te meer energieniveaus bezet zijn. Voor het quantumgetal n dat hoort bij het hoogst bezette energieniveau van Sirius B geldt: nmax = 8,4 . 1018.
De elektronen zijn in dit model te beschrijven als golven met een debroglie-golflengte waarvoor de formule geldt:
$\lambda_B = \frac{2L}{n}$
d) Voer de volgende opdrachten uit:
- Leid deze formule af.
- Bereken de minimale debroglie-golflengte van elektronen in Sirius B.
- Leg daarmee uit dat Sirius B terecht beschouwd wordt als een quantumsysteem.
Met het quantummodel zijn model-energie-berekeningen gemaakt. De resultaten zijn weergegeven in figuur 2.
Hierin is:
- Ek,Q de quantumfysische kinetische energie. Deze is gelijk aan de som van de elektron-energieën van alle gevulde energieniveaus;
- Eg de gravitatie-energie;
- Etot de totale energie.
Er geldt:
$E_{\mathrm{tot}} = E_g + E_{k,Q}$
De grootte van Sirius B is met dit quantummodel te bepalen.
e) Voer daartoe de volgende opdrachten uit:
- Geef de reden dat de totale quantumfysische kinetische energie Ek,Q toeneemt als de straal van Sirius B kleiner wordt.
- Geef aan wat dit betekent voor een mogelijke ineenstorting van Sirius B.
- Bepaal met behulp van figuur 2 de straal van Sirius B die uit dit model volgt.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Gebruik de verschuivingswet van Wien:
$\lambda_{\mathrm{max}}\cdot T=k_w \rightarrow T = \frac{k_w}{\lambda_{\mathrm{max}}}=\frac{2,898\cdot 10^{-3}}{115\cdot 10^{-9}}=2,52\cdot 10^4~\mathrm{K}$
Uitwerking vraag (b)
- Alle drie de isotopen die aangetroffen worden in Sirius B hebben een massagetal dat twee keer zo groot is als het atoomnummer. Alle drie de isotopen bevatten dus evenveel neutronen als protonen. Aangezien er voor elk proton ook een elektron in Sirius B is, zijn er dus twee keer zo veel kerndeeltjes (protonen + neutronen) dan dat er elektronen zijn.
- Een kerndeeltje weegt ongeveer 1 u. De massa van de elektronen kunnen we verwaarlozen ten op zichte van de massa van de kerndeeltjes. Het aantal kerndeeltjes is dan:
$\#\mathrm{kerndeeltjes} = \frac{M_{\mathrm{zon}}}{m_{\mathrm{kerndeeltje}}} = \frac{2\cdot 10^{30}}{1,67\cdot 10^{-27}}=1,2\cdot 10^{57}$
Er zijn twee keer zo weinig elektronen, dus:
$N_e=\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 10^{57} = 6\cdot 10^{56}$
Uitwerking vraag (c)
Het volume van één elektron is:
$V_e = \frac{8,1\cdot 10^{20}}{6\cdot 10^{56}}=1,35\cdot 10^{-36}$
Voor de gemiddelde onderlinge afstand geldt dan:
$V=d^3 \rightarrow d=V^{\frac{1}{3}}=\left(1,35\cdot 10^{-36} \right )^{\frac{1}{3}}=1,1\cdot 10^{-12}~\mathrm{m}$
Uitwerking vraag (d)
- In een één-dimensionale energieput moet de golffunctie bij de rand 0 zijn. Er past dan alleen een geheel aantal keer de halve golflengte:
$L=\frac{1}{2}n\lambda_B \rightarrow \lambda_B=\frac{2L}{n}$
- Invullen geeft:
$\lambda_{B,\mathrm{min}} = \frac{2L}{n_{\mathrm{max}}}=\frac{2\cdot 5,8\cdot 10^6}{8,4\cdot 10^{18}}=1,4\cdot 10^{-12}~\mathrm{m}$ - Aangezien deze minimale debroglie-golflengte in de orde van grootte zit van de onderlinge afstand tussen de elektronen wordt Sirius B terecht beschouwd als een quantumsysteem.
Uitwerking vraag (e)
- Voor de energieniveaus in een één-dimensionale energieput geldt:
$E_n = \frac{n^2 h^2 }{8mL^2}$
Als de straal kleiner wordt, zal de energie van elk niveau toenemen. Daardoor zal de som van de energieën toenemen als L afneemt. - Als de ster ten gevolge van de gravitatie-energie Eg zou krimpen, wordt L kleiner en zal Ek,Q groter worden. Hierdoor zal het krimpen stoppen.
- De meest stabiele situatie is bij de minimale totale energie. Die kan afgelezen worden uit figuur 2. In onderstaande figuur zie je dat de straal dan 5,9 . 106 m is.
