In figuur 1 staat een foto van een Cessna, een eenmotorig vliegtuig.
In tabel 1 staan gegevens van deze Cessna.
Vliegen
Op een horizontaal rechtdoor vliegend vliegtuig werken drie krachten: de zwaartekracht Fz, de motorkracht Fm en de kracht die de lucht op het vliegtuig uitoefent: Flucht. Deze Flucht hangt af van de stand van de vleugels. Flucht kan ontbonden worden in twee componenten. De component tegengesteld aan de vliegrichting is gelijk aan Fw,lucht. De component loodrecht op de vliegrichting wordt liftkracht Flift genoemd. Flucht maakt een hoek α met Flift. Zie figuur 2. Deze figuur is niet op schaal.
Deze Cessna vliegt met zijn kruissnelheid op een constante hoogte. Het motorvermogen is dan 70% van het maximale motorvermogen. De beladen Cessna heeft op dat moment een massa van 710 kg.
Opgaven
a) Bereken de grootte van hoek α in deze situatie.
De formule voor de liftkracht Flift is:
$F_{\mathrm{lift}}=\frac{1}{2}\rho A_{\mathrm{vleugel}}C_{\mathrm{lift}}v^2$
Hierin is:
- ρ de dichtheid van de licht;
- Avleugel de vleugeloppervlakte: de onderoppervlakte van beide voorvleugels samen;
- Clift de liftcoëfficiënt;
- v de snelheid ten opzichte van de lucht.
b) Leid met behulp van deze formule de eenheid van Clift af.
In figuur 3 staan op schaal een zij-, boven- en vooraanzicht getekend van de Cessna.
c) Bepaal met behulp van een print van figuur 3 en tabel 1 de grootte van Clift voor de Cessna op kruissnelheid.
Om een bocht te maken, laat de piloot het vliegtuig een beetje overhellen naar één kant. Hierbij verandert de grootte van de liftkracht niet. Zie figuur 4 voor een tekening in vooraanzicht.
Als de piloot daarbij verder niets aanpast, gebeuren er twee dingen met het vliegtuig:
- het maakt een bocht,
- het verliest hoogte.
d) Leg met behulp van de een print van figuur 4 voor beide uit wat de natuurkundige oorzaak is.
Starten
Om inzicht te krijgen in de beweging van de Cessna op de startbaan wordt een vereenvoudigd model gemaakt. Bij dat model gelden de volgende aannamen:
- gedurende de hele start is het motorvermogen constant,
- gedurende de hele start is de rolwrijving constant.
Het model is weergegeven in figuur 5 (tekstmodel) en figuur 6 (grafisch model). De formules en de startwaarden van het grafisch model zijn gelijk aan die van het tekstmodel. Daarom worden die in het grafisch model niet weergegeven.
Verder is het model niet compleet. De modelregel voor Ek is niet ingevuld.
e) Geef de hele modelregel voor Ek.
In het model staat de factor (v - vwind).
f) Voer de volgende opdrachten uit over het model van figuur 5 en figuur 6:
- Geef de reden dat gewerkt wordt met (v - vwind) en niet met v.
- Leg uit of in het model sprake is van tegenwind of van meewind.
In figuur 7 staat het (s,t)-diagram van de startende Cessna op de startbaan in twee situaties: met windstil weer (A) en met een tegenwind van 10 ms-1 (B). In figuur 8 staat een gedeeltelijke vergroting van figuur 7.
In figuur 9 staat het (v,t)-diagram van de startende Cessna op de startbaan dat uit het model volgt, met daarin de grafiek voor situatie A.
g) Teken in een print van figuur 9 de grafiek voor situatie B.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
In figuur 2 vind je dat:
$\tan(\alpha) = \frac{F_{\mathrm{w,lucht}}}{F_{\mathrm{lift}}}$
De liftkracht is gelijk aan de zwaartekracht: Flift = 710 . 9,81 = 6965 N.
De horizontale component van de kracht die de lucht uitoefent is gelijk aan de motorkracht. Deze volgt uit:
$P=Fv\rightarrow F=\frac{P}{v}=\frac{0,70\cdot 100\cdot 745,7}{55}=949~\mathrm{N}$
Hierin is gebruik gemaakt van het gegeven dat het motorvermogen bij kruissnelheid gelijk is aan 70% van het maximale motorvermogen. In de Binas is gevonden hoeveel Watt 1 pk is.
Combineren geeft:
$\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{F_{\mathrm{w,lucht}}}{F_{\mathrm{lift}}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{949}{6965}\right)=7,8^{\circ}$
Uitwerking vraag (b)
Voor de eenheid van Clift geldt:
$[C_{\mathrm{lift}}]=\frac{[F_{\mathrm{lift}}]}{[\rho][A_{\mathrm{vleugel}}][v]^2}=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kgm}^{-3}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-2}}=\frac{\mathrm{kgms}^{-2}}{\mathrm{kgms}^{-2}}=1$
Clift heeft dus geen eenheid.
Uitwerking vraag (c)
Let op: in deze uitwerkingen wordt de lengte en breedte van een figuur in centimeters opgemeten. Als jij deze afstanden op jouw computer zou opmeten, kom je misschien wel op andere getallen uit. Aangezien het om verhoudingen gaat zou jouw eindantwoord wel hetzelfde moeten zijn!
De oppervlakte van de vleugels kan geschat worden met behulp van figuur 3. In onderstaande figuur is een schatting van de oppervlakte van 1 vleugel gearceerd:
Opmeten geeft dat deze oppervlakte 2,0 bij 6,6 cm is. De totale spanwijdte is 14,9 cm en komt in werkelijkheid overeen met 10,7 m. De lengte en breedte van de gearceerde oppervlakte is:
2,0 . 10,7 / 14,9 = 1,436 m
6,6 . 10,7 / 14,9 = 4,740 m
De totale vleugeloppervlakte is: 2 . 1,436 . 4,740 = 13,6 m2.
De formule invullen geeft dan voor Clift:
$C_{\mathrm{lift}}=\frac{F_{\mathrm{lift}}}{\frac{1}{2}\rho A_{\mathrm{vleugel}}v^2} = \frac{6965}{\frac{1}{2}\cdot 1,293\cdot 13,6\cdot \left(55,0 \right )^2}=0,26$
Uitwerking vraag (d)
De twee krachten resulteren in 1 resulterende kracht. Zie onderstaande constructie:
Deze resulterende kracht kan ontbonden worden in een horizontale en een verticale component. De horizontale component werkt als een middelpuntzoekende kracht, waardoor er een bocht gemaakt wordt. De verticale component van de kracht werkt naar beneden, waardoor het vliegtuig hoogte zal verliezen.
Uitwerking vraag (e)
Ek = Ek + Pnetto * dt
Uitwerking vraag (f)
- Er is luchtwrijving omdat het vliegtuig ten opzichte van de wind een snelheid heeft. Met deze relatieve snelheid moet gerekend worden. De relatieve snelheid is gegeven door v - vwind.
- De relatieve snelheid is kleiner dan de snelheid van het vliegtuigje zelf, want er staat "- vwind", met vwind een positief getal. Dit kan alleen het geval zijn als er meewind is.
Uitwerking vraag (g)
In figuur 9 zie je dat het vliegtuigje zonder wind opstijgt bij een snelheid van 35 m/s. Met 10 m/s tegenwind zal hij dan op stijgen bij een snelheid van 25 m/s.
De stopconditie in het model zorgt ervoor dat het model stopt met rekenen zodra het vliegtuigje opstijgt. In figuur 8 zie je dan dat het vliegtuigje met tegenwind opstijgt op t = 5,4 s.
Het (v,t)-diagram ziet er dan uit zoals in onderstaande figuur.
