In deze opgave vergelijk je de maan die in een baan om de aarde draait, met een elektron dat om de kern van een waterstofatoom beweegt.
In beide systemen geldt voor de kracht:
$F = \frac{k}{r^2}$
In het waterstofatoom geldt:
$k = f \cdot e^2$
en in het aarde-maansysteem:
$k = G \cdot M_{\text{aarde}} \cdot M_{\text{maan}}$
De kracht F werkt om het elektron of de maan in een cirkelbaan te houden. In dit geval kun je afleiden dat voor de impuls p geldt:
$p = \sqrt{\frac{k \cdot m}{r}}$
Hierin is:
$k$ gelijk aan een van de twee gegeven formules;
$m$ de massa van het voorwerp in de cirkelbaan in kg en:
$r$ de straal van de cirkelbaan in m.
Vraag a. Leid de vergelijking voor de impuls p af.
Voor de impuls geldt:
$p = m \cdot v$
waarbij je de snelheid afleidt uit de formule de middelpuntzoekende kracht:
$F_{\text{mpz}} = \frac{mv^2}{r}$
met:
$F_{\text{mpz}} = \frac{k}{r^2}$
Oftewel:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{k}{r^2} \rightarrow v = \sqrt{\frac{k}{m \cdot r}}$
Dus:
$p = m \cdot v = m \cdot \sqrt{\frac{k}{m \cdot r}} =\sqrt{\frac{k \cdot m^2}{r \cdot m}} = \sqrt{\frac{k \cdot m}{r}}$
De gemiddelde afstand tussen elektron en waterstofkern is gelijk aan de bohrstraal, 5,29∙10−11 m. De gemiddelde afstand tussen aarde en maan is 3,84∙108 m.
Vraag b. Bereken de golflengte van De Broglie voor het elektron.
De golflengte bereken je met de formule van De Broglie
De impuls bereken je met de gegeven formule voor impuls.
De constante k bereken je met de gegeven formule voor k.
(Alle in deze opgave niet gegeven waarden zijn te vinden in Binas tabel 7)
$k = f \cdot e^2 = 8,\!987551 \cdot 10^{9} \cdot (1,\!6021 \cdot 10^{-19})^2 = 2,\!3068 \cdot 10^{-28} \text{ Nm}^2$
$p = \sqrt{\frac{k \cdot m}{r}} = \sqrt{\frac{2,\!3068 \cdot 10^{-28} \cdot 9,\!1091 \cdot 10^{-31}}{5,\!29 \cdot 10^{-11}}} = 1,\!993 \cdot 10^{-24} \text{ kg m s}^{-1}$
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6,\!6260 \cdot 10^{-34}}{1,\!993 \cdot 10^{-24}} = 3,\!33 \cdot 10^{-10} \text{ m}$
Vraag c. Bereken de golflengte van De Broglie voor de maan.
De golflengte bereken je met de formule van De Broglie
De impuls bereken je met de gegeven formule voor impuls.
De constante k bereken je met de gegeven formule voor k.
(Alle in deze opgave niet gegeven waarden zijn te vinden in Binas tabel 7 of 31)
$k = G \cdot M_{\text{aarde}} \cdot M_{\text{maan}}$
$k = 6,\!67384 \cdot 10^{-11} \cdot 5,\!972 \cdot 10^{24} \cdot 0,\!0735 \cdot 10^{24} = 2,\!92940 \cdot 10^{37} \text{ Nm}^2$
$p = \sqrt{\frac{k \cdot m}{r}} = \sqrt{\frac{2,\!92940 \cdot 10^{37} \cdot 0,\!0735 \cdot 10^{24}}{3,\!84 \cdot 10^8}} = 7,\!4880 \cdot 10^{25} \text{ kg m s}^{-1}$
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6,\!6260 \cdot 10^{-34}}{7,\!4880 \cdot 10^{25}} = 8,\!85 \cdot 10^{-60} \text{ m}$
Het quantumgetal n is de verhouding tussen de golflengte en de omtrek van de cirkel.
Vraag d. Laat zien dat het waterstofatoom zich in de grondtoestand (n = 1) bevindt en de maan in een zeer hoge aangeslagen toestand.
De omtrek van een cirkel bereken je met de formule voor de omtrek.
$O = 2\pi \cdot r$
Voor het elektron geldt:
$O = 2\pi \cdot 5,\!29 \cdot 10^{-11} = 3,\!32 \cdot 10^{-10} \text{ m}$
$n = \frac{O}{\lambda} = \frac{3,\!32 \cdot 10^{-10}}{3,\!33 \cdot 10^{-10}} = 0,\!997$
Afgerond: n=1 (want n is altijd een geheel getal).
n=1 geeft de grondtoestand aan.
Voor de maan geldt:
$O = 2\pi \cdot 3,\!84 \cdot 10^8 = 2,\!413 \cdot 10^9 \text{ m}$
$n = \frac{O}{\lambda} = \frac{2,\!413 \cdot 10^{9}}{8,\!55 \cdot 10^{-60}} = 2,\!73 \cdot 10^{68}$
n is heel groot. Dus dit is een zeer hoge aangeslagen toestand.
De energieniveaus van beide systemen worden beschreven door:
$E_n = - \frac{E_\infty}{n^2}$
Voor het waterstofatoom geldt E∞ = 13,6 eV en voor het aarde-maansysteem geldt E∞ = 5,66∙10165 J.
Ondanks de enorme waarde voor E∞ kan de maan vrijwel elke energiehoeveelheid opnemen of afstaan.
Vraag e. Leg dit uit.
Als n heel groot wordt, wordt het energieverschil tussen opeenvolgende energieniveaus steeds kleiner. Voor de maan is n zeer groot. Dus de maan gaat over naar een ander energieniveau door zeer kleine energiehoeveelheid op te nemen en of af te staan.
