De formule voor de halveringsdikte is:
$I = I_0 \cdot \Big( \frac{1}{2} \Big)^{\frac{x}{d_{1/2}}}$
Bij een barrière die overal dezelfde hoogte heeft, geldt voor de halveringsdikte:
$d_{1/2} = 0,\!0552 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m \cdot \Delta E}}$
Hierin is:
$0,\!0552$ een constante zonder eenheid;
$h$ de constante van Planck in Js;
$m$ de massa van het tunnelende deeltje in kg en:
$\Delta E$ de barrièresprong in J.
De barrièresprong is het energieverschil tussen de energie die het deeltje heeft, en de energie die nodig is om over de barrière heen te komen.
Vraag a. Laat zien dat: $\frac{h}{\sqrt{2m \cdot \Delta E}}$ de eenheid van lengte heeft.
Verder geldt:
$J = Nm = kg \cdot m \cdot s^{-2} \cdot m = kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}$Dus:
$\Big[ \frac{h}{\sqrt{2m \cdot \Delta E}}\Big] = s \cdot \sqrt{\frac{kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}}{kg}} = s \cdot m \cdot s^{-1} = m$Vraag b. Laat zien dat uit bovenstaande formules volgt dat:
1. de kans op tunnelen kleiner is als de barrière hoger is;
De kans om te tunnelen wordt gegeven door de intensiteit voorbij de barrière.
Als de barrière hoger is, is $\Delta E$ groter, en verder:
$(\Delta E \uparrow) \rightarrow (d_{1/2} \downarrow) \rightarrow (\frac{x}{d_{1/2}} \uparrow) \rightarrow (I \downarrow)$
Met hierin: $\uparrow$ voor "wordt groter" en $\downarrow$ voor "wordt kleiner".
2. de kans op tunnelen kleiner is als de barrière breder is, en:
Als de barrière breder is, is x groter:
$(x \uparrow) \rightarrow (\frac{x}{d_{1/2}} \uparrow) \rightarrow (I \downarrow)$
De intensiteit wordt kleiner, en daarom de kans op tunnelen ook.
3. de kans op tunnelen kleiner is als de massa van het deeltje groter is.
Als de massa van het deeltje m groter is:
$(m \uparrow) \rightarrow (d_{1/2} \downarrow) \rightarrow (\frac{x}{d_{1/2}} \uparrow) \rightarrow (I \downarrow)$De intensiteit wordt kleiner, dus de kans op tunnelen is ook afgenomen.
Vraag c. Bereken de halveringsdikte voor een elektron dat door een barrière moet, terwijl het elektron daarvoor 10 eV te weinig energie heeft.
De halveringsdikte bereken je met de gegeven formule:
$d_{1/2} = 0,\!0552 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m \cdot \Delta E}}$
Invullen geeft:
$d_{1/2} = 0,\!0552 \cdot \frac{6,\!6260 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 9,\!1093 \cdot 10^{-31} \cdot 10 \cdot 1,\!6021 \cdot 10^{-19}}}$
Oftewel:
$d_{1/2} = 2,\!1 \cdot 10^{-11} \text{ m}$
