Op nu.nl stond op 15 augustus 2016 een artikel waarin de ontdekking van een nieuwe exoplaneet beschreven wordt. De exoplaneet bevindt zich op een afstand van ongeveer 4,25 lichtjaar van de aarde en draait om de dichtstbijzijnde ster buiten ons zonnestelsel, Proxima Centauri. In het artikel wordt beschreven dat de planeet zich in de leefbare zone van de ster bevindt. Dat betekent dat de afstand tot de ster ze groot is dat water – als het er voorkomt – vloeibaar kan zijn.
In Binas vind je de belangrijkste gegevens van Proxima Centauri.
a) Leg uit welke kleur Proxima Centauri heeft. Bereken daartoe eerst de golflengte waarbij de intensiteit van de uitgezonden straling maximaal is.
b) Toon aan dat het stralingsvermogen van de Proxima Centauri gelijk is aan 6,3 . 1023 W.
We nemen bij deze vraag aan dat we de planeet mogen beschouwen als een zwarte straler, zonder een eigen atmosfeer. De temperatuur van de planeet zal dan constant zijn wanneer er een evenwicht ontstaat in het uitgezonden en geabsorbeerde vermogen. Uit dit evenwicht valt een formule af te leiden voor de oppervlaktetemperatuur van de planeet:
$T_p=\left(\frac{P_{ster}}{16\sigma \pi r_{ps}^2} \right )^{\frac{1}{4}}$
Hierin is:
- Tp de temperatuur van de planeet (K);
- Pster het stralingsvermogen van de ster (W);
- σ de constante van Stefan-Boltzmann;
- rps de afstand van het middelpunt van de planeet tot het middelpunt van de ster (m).
c) Toon aan dat het deel links van het ‘=’-teken dezelfde eenheid heeft als het deel rechts van het ‘=’-teken.
d) Uitdaging: Leid bovenstaande formule af met behulp van formules uit Binas.
Als de afstand tussen de exoplaneet en Proxima Centauri te groot zou zijn, komt de temperatuur op de planeet onder het vriespunt te liggen, en zal er geen vloeibaar water op de planeet aanwezig zijn. De planeet kan ook niet te dicht bij de ster zijn. In dat geval zal de temperatuur boven het kookpunt van water komen te liggen.
e) Bereken de afstand tussen de ster en de planeet waarbij de temperatuur van de planeet gelijk is aan 273 K. Bereken ook de afstand waarbij de temperatuur gelijk is aan 373 K.
In werkelijkheid kloppen de afstanden die je berekend hebt bij vraag e niet.
f) Noem twee redenen waarom de berekende afstanden niet overeen komen met werkelijke grenzen van de leefbare zone van de ster.
Uitwerking vraag (a)
De effectieve temperatuur is 2,6 . 103 K. De golflengte waarbij de intensiteit van de uitgezonden straling maximaal is, is dan:
$\lambda_{max}\cdot T=k_w \rightarrow \lambda_{max}=\frac{k_w}{T}=\frac{2,898\cdot 10^{-3}}{2,6\cdot 10^3}=1,11\cdot 10^{-6}~\mathrm{m}$
Het maximum van de planck-kromme ligt dus in het infrarood. De ster zendt dus veel meer rood licht uit dan andere kleuren. De ster heeft daardoor een roodachtige kleur.
Je kan dit eventueel zelf controleren met de applet op deze site. Stel de temperatuur in op K. Bovenaan staat een klein sterretje die vervolgens de kleur van de ster aanneemt. Zie onderstaande afbeelding.
Uitwerking vraag (b)
Voor de intensiteit van de uitgezonden straling geldt:
$I=\sigma T^4 = 5,67\cdot 10^{-8}\cdot \left(2,6\cdot 10^3 \right )^4 = 2,59\cdot 10^6~\mathrm{Wm}^{-2}$
Om het vermogen te krijgen moeten we dit vermenigvuldigen met de oppervlakte van de ster, waarvoor geldt A=4π r2. De straal van de ster staat in Binas en is 0,20 keer de straal van de zon (rzon = 6,963 . 108 m).
Invullen geeft dan:
$P=I\cdot A=2,59\cdot 10^6 \cdot 4\pi \cdot \left(0,20\cdot 6,963\cdot 10^8 \right )^2=6,31\cdot 10^{23}~\mathrm{W}$
Het stralingsvermogen is gelijk aan 6,31 . 1023 W.
Uitwerking vraag (c)
De eenheid links van het ‘=’-teken is kelvin. Voor de eenheid rechts geldt:
$\frac{[P_{ster}]^{\frac{1}{4}}}{[\sigma]^{\frac{1}{4}}\cdot [r_{sp}]^{\frac{2}{4}}} = \frac{W^{\frac{1}{4}}}{(Wm^{-2}K^{-4})^{\frac{1}{4}}\cdot m^{\frac{1}{2}}} = \frac{W^{\frac{1}{4}}}{W^{\frac{1}{4}}\cdot m^{-\frac{2}{4}}\cdot K^{-1}\cdot m^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{K^{-1}}=K$
De eenheid is links en rechts van het ‘=’-teken gelijk!
Uitwerking vraag (d)
Er moet gelden dat:
$P_{in}=P_{bron}$
Hierin is Pin het geabsorbeerde vermogen en Pbron het uitgezonde vermogen. Het uitgezonden vermogen moet gelijk zijn aan:
$P_{bron}=\sigma A T^4 = \sigma 4 \pi R_p^2 T_p^4$
Hierin is Rp de straal van de planeet. Het vermogen dat maximaal per vierkante meter op de planeet valt, de maximale intensiteit, is:
$I_p=\frac{P_{ster}}{4\pi r_{ps}^2}$
Voor het geabsorbeerde stralingsvermogen geldt dan dus:
$P_{in}=I_p\cdot A = \frac{P_{ster}}{4\pi r_{ps}^2}\cdot \pi R_p^2= \frac{P_{ster}}{4}\cdot \frac{R_p^2}{r_{ps}^2}$
Combineren geeft dan:
$\displaylines{\begin{aligned}\\ P_{in} &= P_{bron} \\ \frac{P_{ster}}{4}\cdot \frac{R_p^2}{r_{ps}^2}=\sigma 4 \pi R_p^2 T_p^4 \\ \frac{P_{ster}}{16\sigma \pi r_{ps}^2}=T_p^4 \\ T_p &= \left(\frac{P_{ster}}{16\sigma \pi r_{ps}^2} \right )^{\frac{1}{4}}\end{aligned}}$
Uitwerking vraag (e)
De gegeven formule kan omgeschreven worden tot:
$r_{ps}=\sqrt{\frac{P_{ster}}{16\sigma \pi T_p^4}}$
Invullen geeft voor 273 K een afstand van 6,3 . 109 m, en voor een temperatuur van 373 K vind je 3,4 . 109 m.
Uitwerking vraag (f)
Voorbeelden van antwoorden:
- De planeet is geen zwarte straler en absorbeert dus niet alle ontvangen straling. Een deel zal gereflecteerd worden aan het oppervlak.
- De planeet kan een atmosfeer hebben die straling absorbeert of reflecteert.
