In de Gelderlander stond op 14 april 2016 een bericht waarin een spectaculaire stunt van stuntman Chuck Borden werd beschreven. Tijdens de Zwarte Cross, een soort (pop)festival in de Achterhoek, zou hij zich laten wegschieten door een reuzenkatapult met een werparm van 17 m. Na het lanceren zou hij 30 m hoog en 80 m vliegen, om vervolgens op kartonnen dozen te landen.
Op onderstaand filmpje zie je een test van de opstelling waarmee Chuck gelanceerd gaat worden. Een motor in het bouwwerk zorgt ervoor dat Chuck in 2,3 seconde omhoog gaat. We nemen aan dat Chuck Borden 80 kg weegt.
Zoals in het filmpje te zien is wordt Chuck bij het oefenen ongeveer horizontaal afgeschoten. De verticale snelheid op het moment van loslaten is dan verwaarloosbaar. We noemen dit een horizontale worp. We kunnen de beweging in de horizontale richting dan als eenparig beschouwen, terwijl de beweging in de verticale richting een vrije val is.
a) Bereken hoe lang een vrije val vanaf 17 meter hoogte duurt.
b) Bereken de snelheid waarmee een voorwerp op de grond terecht komt na een vrije val van 17 meter.
c) Toon aan dat de minimale horizontale snelheid die Chuck zou moet hebben om een afstand van 80 meter af te leggen gelijk is aan 43 ms-1.
d) Bereken de totale snelheid waarmee Chuck dan bij de oefening op de grond terecht komt. Geef je antwoord in km/h.
De motor van de katapult moet er dus voor zorgen dat Chuck in 2,3 seconde 17 meter omhoog gaat, en daarbij een snelheid van 43 ms-1 krijgt.
e) Bereken het mechanische vermogen dat hier minimaal voor nodig is.
De echte stunt is vanwege technische problemen met de katapult helaas niet doorgegaan. Tijdens de echte stunt zou Chuck met een snelheid van ongeveer 100 km/h landen in een grote stapel kartonnen dozen.
f) Leg met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie uit dat een hoge stapel kartonnen dozen kan zorgen voor een veilige landing.
Tijdens de echte stunt zou er helemaal geen sprake zijn van een horizontale worp. De werparm is namelijk maar 17 m hoog, terwijl het hoogste punt van de vlucht 30 m is. We noemen dit een schuine worp. Ook bij een schuine worp kunnen we de beweging in de horizontale richting als eenparig beschouwen en de beweging in de verticale richting als een vrije val. We gaan er bij deze vraag van uit de worp begint op 17 m hoogte.
g) Bereken de totale tijd dat Chuck in de lucht is. Bereken daartoe eerst de tijd tussen het loslaten van de werparm en het bereiken van het hoogste punt.
h) Bereken de snelheid waarmee Chuck gelanceerd wordt. Bereken daartoe eerst zowel de horizontale als de verticale beginsnelheid.
i) Bereken de snelheid waarmee Chuck dan op de grond zou landen. Komt dit overeen met de genoemde snelheid van 100 km/h? Kan je een eventueel verschil verklaren?
Vervolgonderzoek
Je zou voor een opdracht op school deze situatie goed kunnen beschrijven met een model. Je zou dan bijvoorbeeld kunnen onderzoeken onder welke hoek Chuck afgeschoten moet worden om vanaf 17 meter hoogte een afstand van 80 meter hoogte af te leggen en tot een maximale hoogte van 30 meter te komen.
In werkelijkheid zal Chuck eerder uit het bakje gelanceerd worden, en zal zijn beginhoogte dus niet 17 meter zijn. Deze beginhoogte kan je wel uitdrukken in de lanceerhoek. Vervolgens kan je onderzoeken wat de ideale lanceerhoek is om 80 meter ver en 30 meter hoog te vliegen en met een zo laag mogelijke snelheid te landen.
Je zou ook nog luchtwrijving toe kunnen voegen aan jouw model. Kortom: genoeg te onderzoeken!
Uitwerking vraag (a)
De beginsnelheid is 0. Voor de eindsnelheid geldt dan: ve=gt. De gemiddelde snelheid tijdens de vrije val is:
$v_{gem}=\frac{v_b+v_e}{2}=\frac{1}{2}gt$
Voor de afgelegde afstand geldt dan:
$s_y=v_gem\cdot t =\frac{1}{2}gt^2$
Invullen en uitwerken voor t geeft:
$t=\sqrt{\frac{2s_y}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 17}{9,81}}=1,862=1,9~\mathrm{s}$
Uitwerking vraag (b)
$v_e=gt=9,81\cdot 1,862=18,26=18~\mathrm{ms}^{-1}$
Uitwerking vraag (c)
Hij moet in 1,862 s een afstand van 80 meter afleggen. Dat geeft:
$v_x=\frac{s}{t}=\frac{80}{1,862}=42,97=43~\mathrm{ms}^{-1}$
Uitwerking vraag (d)
Je weet twee componenten van de snelheid, die loodrecht op elkaar staan, oftewel:
$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{18,26^2 + 42,97^2}=46,69=74~\mathrm{ms}^{-1}=1,7\cdot 10^2~\mathrm{kmh}^{-1}$
Uitwerking vraag (e)
De totale arbeid die door de katapult verricht moet worden moet gelijk zijn aan de toename in zwaarte- en kinetische energie:
$\Delta W = E_k + E_z = \frac{1}{2}mv^2 + mgh = \frac{1}{2}\cdot 80\cdot (43)^2 + 80\cdot 9,81\cdot 17 = 8,73\cdot 10^4~\mathrm{J}$
Het minimale mechanische vermogen is dan:
$P_{gem}=\frac{W}{t}=\frac{8,73\cdot 10^4}{2,3}3,8\cdot 10^4~\mathrm{W}$
Uitwerking vraag (f)
De wet van arbeid en kinetische energie is:
$W=F\cdot s = \Delta E_k$
Zodra hij landt zal zijn kinetische energie afnemen tot 0. Omdat de stapel dozen vrij hoog is, is de remafstand ook groot. Hierdoor is de kracht die op Chuck werkt relatief klein en is een veilige landing (misschien) mogelijk.
Uitwerking vraag (g)
- Op het hoogste punt is de verticale snelheid 0. Chuck is in de verticale richting dan volledig afgeremd. De eindsnelheid is 0, terwijl de beginsnelheid gelijk moet zijn geweest aan gt. Voor de gemiddelde snelheid tussen het loslaten van de werparm en het bereiken van het hoogste punt geldt:
$v_{gem}=\frac{v_b+v_e}{t}=\frac{1}{2}gt$
Voor de afgelegde afstand geldt dan:
$s_y=v_{gem}\cdot t = \frac{1}{2}gt^2$
Invullen en uitwerken voor t geeft:
$t=\sqrt{\frac{2s_y}{t}}=\sqrt{\frac{2\cdot(30-17)}{9,81}}=1,628=1,6~\mathrm{s}$ - Vervolgens beschrijft Chuck een verticale vrije val vanaf een hoogte van 30 meter. Hiervoor geldt:
$t=\sqrt{\frac{2s_y}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 30}{9,81}}=2,473=2,5~\mathrm{s}$ - De totale tijd dat Chuck in de lucht is, is dan dus:
$t=t_1+t_2=1,628+2,472=4,101=4,1~\mathrm{s}$
Uitwerking vraag (h)
-
In de horizontale richting moet de snelheid zijn:
$v_x=\frac{s_x}{t}=\frac{80}{4,101}=19,51~\mathrm{ms}^{-1}$ - In de verticale richting moet de snelheid zijn:
$v_x=gt=9,81\cdot 1,628=15,97~\mathrm{ms}^{-1}$ - De snelheid waarmee Chuck gelanceerd wordt is dan:
$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{19,51^2+15,97^2}=25,21=25~\mathrm{ms}^{-1}$
Uitwerking vraag (i)
De verticale snelheid waarmee Chuck landt is gelijk aan:
$v_e=gt=9,81\cdot 2,472=24,26=24~\mathrm{ms}^{-1}$
De horizontale snelheid blijft constant. De snelheid waarmee hij dan landt is:
$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{19,51^2+25,21^2}=31,88=32~\mathrm{ms}^{-1}=1,1\cdot 10^2~\mathrm{kmh}^{-1}$
Dit is zelfs nog meer dan de genoemde snelheid.
In werkelijkheid zal er luchtwrijving zijn, waardoor de snelheid lager is dan we hier berekend hebben.
