Tijdens een boottochtje over de Moezel van Beilstein naar Cochem passeert een schip bij Fankel een sluis. Het schip vaart de sluis in (zie figuur 1), het water in de sluis zakt (zie figuur 2), en na enige tijd kan het schip de sluis weer verlaten. In de sluis ligt het schip stil.
Een passagier op het schip heeft twee (v,t)-diagrammen gemaakt: één van de heenreis en één van de terugreis. Deze diagrammen zijn in figuur 3 en figuur 4 gegeven. Hierin is de snelheid van het schip gegeven ten opzichte van de oever.
Opgaven
a) Bepaal, met behulp van figuur 3, hoeveel minuten het passeren van de sluis op de heenreis duurt.
b) Bepaal, met behulp van figuur 4 de afstand tussen Beilstein en Cochem. Geef je antwoord in twee significante cijfers.
De Moezel is een stromende rivier. De snelheid van het schip ten opzichte van het water is in beide richtingen even groot.
c) Bepaal met behulp van figuur 3 en figuur 4 de stroomsnelheid van de rivier tijdens de boottocht.
Bij deze sluis neemt de waterhoogte op de terugweg met 7,0 m toe. Het stijgen van het water in de sluis als functie van de tijd is in een (h,t)-diagram in figuur 5 gegeven.
d) Bepaal, met behulp van figuur 5, de maximale stijgsnelheid van het water in de sluis.
In figuur 6 zijn de sluisdeuren in bovenaanzicht schematisch getekend. In het bovenste deel van figuur 6 staan de sluisdeuren open, in het onderste deel zijn ze
gesloten.
De sluisdeuren worden bediend met hydraulische cilinders: deze hebben stangen die in en uit kunnen schuiven.
Tijdens het sluiten van de sluisdeuren heeft het water rond een sluisdeur dezelfde hoogte. De kracht van de hydraulische cilinder op een sluisdeur is tijdens het sluiten van de sluisdeuren steeds even groot.
Op een bepaald tijdstip worden de sluisdeuren gesloten. In figuur 7 staan 4 diagrammen.
e) In welk diagram is het moment M = Fr van de kracht van de hydraulische cilinder op een sluisdeur als functie van hoek α juist weergegeven?
Naast de sluis ligt in de rivier een stuw. Zie figuur 8.
Een stuw wordt gebouwd tussen twee delen van een rivier met een hoogteverschil. Dit hoogteverschil wordt gebruikt om met behulp van een waterkrachtcentrale elektrische energie op te wekken. Het hoogteverschil in deze stuw is 7,0 m.
Als er 400 m3 water per seconde door de stuw gaat, levert de stuw zijn maximale elektrische vermogen van 16,4 MW. Het snelheidsverschil van het water voor en na de stuw is te verwaarlozen.
f) Bereken het rendement van deze energieomzetting.
Gemiddeld stroomt er 209 m3 water per seconde door de stuw. Het opgewekte vermogen is evenredig met de hoeveelheid water per seconde. Het rendement van de stuw is bij 209 m3 water per seconde niet hetzelfde als bij 400 m3 water per seconde.
Een huishouden gebruikt gemiddeld 3750 kWh per jaar aan elektrische
energie.
g) Bereken hoeveel huishoudens er maximaal door deze stuw van elektrische energie kunnen worden voorzien. Geef het antwoord in twee significante cijfers.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
De boot ligt stil van 0,12 uur tot 0,28 uur. Dat is in totaal dus 0,16 uur. Dit komt overeen met 0,16 . 60 = 9,6 minuten.
Uitwerking vraag (b)
De afstand volgt uit het (v,t)-diagram door de oppervlakte onder de grafiek te bepalen. In dit geval vaart de boot 11,4 kmh-1 en houdt dat 0,67 uur vol, en daarna nog 0,25 uur. De afgelegde afstand is dan:
$s=v\cdot t=11,4\cdot (0,67+0,25)=10,488=10~\mathrm{km}$
Uitwerking vraag (c)
Op de heenweg vaart de boot 14,2 kmh-1. Op de terugweg is dat 11,4 kmh-1. Het verschil hier tussen is 2,8 kmh-1.
Dit verschil is twee keer zo groot als de stroomsnelheid, aangezien deze op de heenweg mee- en op de terugweg tegenwerkt. De stroomsnelheid is dus 1,4 kmh-1.
Uitwerking vraag (d)
De maximale stijgsnelheid volgt uit de raaklijn op het steilste punt. Zie onderstaande grafiek voor de raaklijn.
De bijhorende snelheid is:
$v=\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{10}{98 - 9}=0,11~\mathrm{ms}^{-1}$
Uitwerking vraag (e)
De kracht blijft steeds hetzelfde. De arm wordt echter steeds kleiner. Het goede antwoord is dus C.
Uitwerking vraag (f)
Voor het rendement geldt:
$\eta = \frac{P_{nuttig}}{P_{in}}\cdot 100\%$
Hierin is Pnuttig gelijk aan 16,4 MW.
Voor het vermogen Pin geldt:
$P_in=\frac{E_z}{t}=\frac{mgh}{t}=\frac{400\cdot 0,998\cdot 10^3\cdot 9,81\cdot 7,0}{1}=2,74\cdot 10^7=27,4~\mathrm{MW}$
Het rendement is dus:
$\eta=\frac{16,4}{27,4}\cdot 100\%=59,83 = 60\%$
Uitwerking vraag (g)
Het vermogen is:
$P=\frac{209}{400}\cdot 16,4=8,569~\mathrm{MW}$
De totale energie in een jaar is dan:
$E=8,569\cdot 10^{3}~\mathrm{kW}\cdot 24\cdot 365~\mathrm{uur}=7,51\cdot 10^7~\mathrm{kWh}$
En voor het maximale aantal huishoudens geldt:
$\frac{7,51\cdot 10^7}{3750}=2,0\cdot 10^4~\mathrm{huishoudens}$
