Op nu.nl stond op 8 april 2016 een artikel waarin een minuscule spin uit Nieuw-Zeeland beschreven wordt die zijn kaken met een recordsnelheid kan dichtklappen. De spinnensoort is ongeveer twee millimeter groot en is in staat om zijn kaken binnen een halve milliseconde dicht te slaan. De onderzoekers filmden verschillende soorten met hogesnelheidscamera’s in hun laboratorium, terwijl ze de diertjes uitdaagden met een nepinsect. De kracht die de diertjes opwerkten met hun kaken was zo groot dat de beweging niet kan worden verklaard met spierkracht alleen. Vermoedelijk slaan de spinnen ergens energie op in hun lichaam, die weer vrijkomt wanneer ze hun kaken laten dichtklappen.
In figuur 2 zie je een schematische weergave van het hoofd en de kaken van de onderzochte spinnen. Het draaipunt van de kaken is aangegeven met een klein, recht pijltje. De gebogen kaken geven de bewegingsrichting van de kaken aan. Wanneer de kaken volledig open staan maken ze een hoek die iets kleiner is dan 180°. Dit is op schaal afgebeeld in figuur 2.
De wetenschappers hebben verschillende spinnen onderzocht. De Zearchaea sp4 was de spin die zijn kaken het snelst kon sluiten. Hij had hiervoor maar 0,12 ms nodig. De hoeksnelheid van de kaken van deze spin is gelijk aan 1,1 ⋅ 104 rad s-1.
a) Toon dat aan me behulp van figuur 2.
Voor de energie die nodig is om de kaken van de spin dicht te klappen geldt:
$E=\frac{1}{6}ml^2 \omega^2$
Hierin is:
- m de massa van de kaak;
- l de lengte van de kaak;
- ω de hoeksnelheid van de kaak.
b) Laat zien dat de eenheid links en rechts van bovenstaande vergelijking gelijk is.
De spier die de kaak aanstuurt heeft een geschatte spiermassa van 1,24 ⋅ 10-8 kg. De kaken van de spin hebben een massa van 6,64 μg en hebben een lengte van 0,64 mm.
c) Toon aan met behulp van bovenstaande vergelijking dat het vermogen dat de spier per kg levert tijdens het sluiten van één van de kaken gelijk is aan 3,7 ⋅ 104 W/kg.
De auteurs citeren vervolgens eerder onderzoek, waarin is aangetoond dat spieren een maximaal vermogen kunnen ontwikkelen van 500 W per kg. Er moet dus ergens anders in het lichaam van de spin energie opgeslagen zijn. In het artikel beschrijven de auteurs een rij haren die langs de kaken lopen als ze geopend zijn. Deze haren zijn in figuur 2 afgebeeld en aangegeven met een sterretje. Voordat de kaken dichtslaan wordt er op een hogesnelheidsopname contact waargenomen tussen de haren en de kaken.
d) Leg uit hoe het mogelijk is dat deze haren extra energie kunnen leveren voor het sluiten van de kaken.
Uitwerking vraag (a)
Methode 1
De hoek die de kaken onderling maken is ongeveer 155°. Elke kaak draait tijdens het sluiten dus 155 / 2 = 77,5°. Dit komt overeen met: 77,5 / 360 ⋅ 2π = 1,35 radialen. Dit duurt 0,12 ms. De hoeksnelheid is dan:
$\omega=\frac{\theta}{t}=\frac{1,35}{0,12\cdot 10^{-3}}=1,1\cdot 10^4~\mathrm{rad~s}^{-1}$
Methode 2
De hoek die de kaken onderling maken is ongeveer 155°. Elke kaak draait tijdens het sluiten dus 155 / 2 = 77,5°. Dit duurt 0,12 ms. De tijd die nodig is voor een volledige ronde van 360° is dan: 360 / 77,5 ⋅ 0,12 = 0,557 ms. De hoeksnelheid is dan:
$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,557\cdot 10^{-3}}=1,1\cdot 10^4~\mathrm{rad~s}^{-1}$
Uitwerking vraag (b)
De eenheid van energie is J. De eenheid rechts van het ‘=’-teken is gelijk aan:
$[m]\cdot [l]^2\cdot [\omega]^2 = kg\cdot m^2 \cdot s^{-2} = Nm = J$
De eenheden zijn links en rechts van het ‘=’-teken gelijk aan elkaar.
Uitwerking vraag (c)
De energie die nodig is om één kaak te sluiten is (let er op, de massa moet ingevuld worden in kg!):
$E=\frac{1}{6}ml^2 \omega^2 = \frac{1}{6}\cdot 6,64\cdot 10^{-9}\cdot (0,64\cdot 10^{-3})^2\cdot (1,1\cdot 10^4)^2=5,48\cdot 10^{-8}~\mathrm{J}$
Het vermogen is dan:
$P=\frac{E}{t}=\frac{5,48\cdot 10^{-8}}{0,12\cdot 10^{-3}}=4,57\cdot 10^{-4}~\mathrm{W}$
Per kilogram lichaamsgewicht is dit:
$\frac{P}{m}=\frac{4,57\cdot 10^{-4}}{1,24\cdot 10^{-8}}=3,7\cdot 10^{4}~\mathrm{Wkg}^{-1}$
Uitwerking vraag (d)
De haren zouden kunnen werken als kleine veren die uitgerekt worden voordat de kaken dichtklappen. Op het moment dat de kaken dichtklappen zullen de veren weer intrekken. Hierbij is er een veerkracht dit arbeid levert aan de kaken.
