In deze opgave bekijken we een patiënt waarbij de botten in de benen worden onderzocht. Hierbij gebruikt men calcium omdat dit gemakkelijk door het lichaam opgenomen en getransporteerd wordt naar de botten. De patiënt krijgt een hoeveelheid van de instabiele isotoop calcium-47 toegediend, die bij verval een bèta-min-deeltje en gammastraling uitzendt:
$^{47}\textrm{Ca} \rightarrow ^{47}\textrm{Sc} + \beta^{-} + \gamma$
De gammastraling kan buiten het lichaam gedetecteerd worden. De arts kan zo zien of er met de botten iets bijzonders aan de hand is.
Opgaven
Bij het begin van het onderzoek krijgt de patiënt een hoeveelheid calcium-47 toegediend met een activiteit van 2,5 MBq.
a) Bereken de massa in kg van het calcium-47.
De benen van de patiënt worden onder een apparaat gelegd dat gammastraling meet. Zie figuur 1.
In het apparaat zijn honderden gammadetectoren in rijen naast elkaar geplaatst. Onder de gammadetectoren bevindt zich een dikke loden plaat. Onder elke gammadetector zit in de plaat een smal gat.
Elke gammadetector registreert alleen de straling die uit het deel van het been recht onder de detector komt.
b) Waarom is het gewenst dat die alleen van recht onder komt?
Voor het maken van het beeld van het bot worden de gegevens door de computer verwerkt. Voor verschillende delen van de benen verschilt de absorptie van gammastraling in het spierweefsel en in de lucht tussen de detector en het been.
Om de metingen van het been te kunnen vergelijken, moet voor die absorptie gecorrigeerd worden. Daarvoor vermenigvuldigt de computer de meetwaarde van elke detector met een correctiefactor.
Als er geen absorptie optreedt, levert dat een correctiefactor 1.
Neem aan dat zich tussen een gammadetector en het bot 10 cm lucht en 4,5 cm spierweefsel bevindt. De absorptie in spierweefsel is gelijk aan die in water. Ga uit van een gamma-foton met een energie van 1,0 MeV.
c) Bereken de grootte van de correctiefactor voor die detector.
Een nadeel van deze onderzoeksmethode is de stralingsbelasting van het bot. Deze ontstaat voornamelijk door absorptie van bèta-min-deeltjes. Deze zijn niet alleen afkomstig van calcium-47 maar ook van scandium-47 (dat ontstaat bij het verval van calcium-47).
Figuur 2 toont het verloop van de gezamenlijke activiteit van beide isotopen in het bot van het bovenbeen.
d) Beredeneer aan de hand van het verloop van figuur 2 of de halveringstijd
van scandium-47 groter of kleiner is dan de halveringstijd van calcium-47.
De nucleaire diagnostiek zoals die hierboven beschreven is, laat plaatsen van het bot zien waar iets bijzonders aan de hand is. Die informatie kan niet worden verkregen met behulp van echoscopie of een MRI-scan.
e) Beargumenteer dit voor deze beide technieken.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Voor het aantal kernen geldt:
$N=\frac{t_{1/2}}{ln(2)}\cdot A = \frac{4,54\cdot 24\cdot 3600}{ln(2)}\cdot 2,5\cdot 10^6 = 1,415\cdot 10^{12}$
De atoommassa staat in de Binas en is 46,95 u. Dit geeft:
$m=N\cdot m_a=1,415\cdot 10^{12}\cdot 46,95\cdot 1,66\cdot 10^{-27}=1,1\cdot 10^{-13}~\mathrm{kg}$
Uitwerking vraag (b)
Anders weet je niet van welke plaats in het bot de gammastraling afkomstig is.
Uitwerking vraag (c)
De halveringsdikte voor water is 9,8 cm en voor lucht 9,1 ⋅ 103 cm.
Eerst gaat de straling door het spierweefsel. Stel, we beginnen met 100%. Na het spierweefsel is de intensiteit dan nog:
$I(d)=I_0 \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{d}{d_{1/2}}}=100\%\cdot \left(\frac{1}{2} \right )^{4,5/9,8}=72,7\%$
De straling legt ook nog 10 cm in de lucht af. De intensiteit neemt daardoor verder af:
$I(d)=I_0 \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{d}{d_{1/2}}}=72,7\%\cdot \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{10}{9,1\cdot 10^3}}=72,6\%$
De correctiefactor bedraagt dan dus:
$\frac{100\%}{72,6\%}=1,4$
Uitwerking vraag (d)
In het begin is er alleen calcium-47. Als dit vervalt ontstaat er scandium-47. Je ziet dat de activiteit in het begin toeneemt. Dat betekent dat de scandium-47-deeltjes sneller vervallen. De halveringstijd van scandium-47 is dan dus kleiner dan die van calcium-47.
Uitwerking vraag (e)
- Echoscopie: Met echoscopie onderzoeken we de reflectie van geluid in zachte weefsels. Hiermee is dus geen informatie uit de binnenkant van botten te verkrijgen.
- MRI: Een MRI geeft een beeld van waterstofatomen in zachte weefsels in de patiënt. Dit geeft dus geen informatie over botten.
