Vogels en vleermuizen, maar ook insecten, bewegen zich voort door hun vleugels op en neer te bewegen. De verticale afstand tussen de uiterste standen van de
vleugeltippen noemen we de slaggrootte d. De afstand die horizontaal bij een volledige op- en neergaande beweging wordt afgelegd, noemen we x. In figuur 1 zijn deze grootheden aangegeven.
De verhouding d / x wordt het getal van Strouhal (St) genoemd. Uit biomechanisch onderzoek blijkt dat voor zeer uiteenlopende vliegende dieren geldt: St = 0,30. Het getal van Strouhal is een voorbeeld van een dimensieloze grootheid. Een dimensieloze grootheid heeft geen eenheid.
Opgaven
a) Laat zien dat St een dimensieloze grootheid is.
Het getal van Strouhal kan in de praktijk berekend worden met:
$St=\frac{f\cdot d}{v}~~~ (1)$
Hierin is:
- St het getal van Strouhal;
- f de slagfrequentie in Hz;
- d de slaggrootte in m;
- v de vliegsnelheid in ms−1.
b) Laat zien dat uit formule (1) volgt: St = d / x.
Het is mogelijk om uit enkele foto’s van een vogel in de lucht zijn snelheid te bepalen. Figuren 2a, b en c zijn opnames van een zilvermeeuw met de vleugels in de hoogste stand, de evenwichtsstand en de laagste stand van één slagbeweging. De opnames hebben dezelfde schaal en zijn met een tussentijd van 40 ms gemaakt. De spanwijdte is 1,4 m.
c) Bepaal uit figuur 2 de vliegsnelheid van deze zilvermeeuw.
Je mag aannemen dat de vogel recht van achteren gefotografeerd is. De vliegbeweging van twee verschillende vogels wordt vergeleken. Beide vogels
hebben bij x = 0 m de vleugeltip in de laagste stand. In figuur 3 is de verticale uitwijking van de vleugeltip van vogel 1 als functie van de horizontale afstand x
weergegeven. In de figuur is tussen de oorsprong (O) en de hoogste vleugelstand (A) een rechte stippellijn getrokken.
Vogel 1 bereikt zijn uiterste vleugelstand (A) bij x = 0,50 m.
Vogel 2 is groter en bereikt zijn uiterste stand (B) bij x = 0,60 m.
d) Voer de volgende opdrachten uit:
- Leg uit dat de steilheid van OA gelijk is aan het getal van Strouhal St.
- Teken in een print van figuur 3 punt B.
- Bepaal de slaggrootte van vogel 2.
Als je een grote en een kleine vogel vergelijkt, nemen we aan dat van de grote vogel alle afstanden (lengte, breedte, hoogte en dus ook slaggrootte) k keer zo groot zijn als die van de kleine vogel. We spreken dan van schaalfactor k.
De drie grootheden f, d en v in formule (1) hangen van k af. Deze afhankelijkheid (schaalwet) geven we aan met:
$\cdots \propto k^p$
Hierin is:
- ∝ evenredig met;
- k schaalfactor;
- p een getal, afhankelijk van de betreffende grootheid.
De vliegsnelheid hangt alleen af van de massa m en de vleugeloppervlakte A van de vogel:
$v\propto\sqrt{\frac{m}{A}}$
De schaalwet voor de slagfrequentie luidt: f ∝ kp.
e) Voer de volgende opdrachten uit:
- Laat zien dat v ∝ k1/2
- Beredeneer hiermee hoe groot getal p is in f ∝ kp.
- Vul de volgende zin aan:
Als de lengte van de vogel 4 maal zo groot wordt, wordt de slagfrequentie f ....... maal zo ........ .
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
$[St]=\frac{[d]}{[x]}=\frac{m}{m}=1$
St is dus een dimensieloze grootheid.
Uitwerking vraag (b)
x is de horizontaal afgelegde afstand bij een volledige op- en neergaande beweging. Deze afstand valt te berekenen met:
$x=v\cdot T$
Hierin is v de vliegsnelheid en T de tijd die nodig is voor 1 volledige op- en neergaande beweging. Hiervoor geldt: T = 1 / f, met f de slagfrequentie. Dit geeft:
$x=\frac{v}{f}\rightarrow v = xf$
Wanneer we dit invullen in formule (1) krijgen we:
$St=\frac{f\cdot d}{v}=\frac{f\cdot d}{xf}=\frac{d}{x}$
Uitwerking vraag (c)
We weten dat St = 0,30. Om de snelheid met behulp van formule (1) te berekenen, moeten we eerst nog de slagfrequentie en slaggrootte bepalen.
De slagfrequentie volgt uit figuur 2. In figuur 2a zijn de vleugels in de hoogste stand, terwijl ze in figuur 2c in de laagste stand zijn. De tijd tussen deze twee foto's is dus een halve periode. Voor de frequentie geldt:
$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\cdot 80\cdot 10^{-3}}=6,25~\mathrm{Hz}$
De slaggrootte volgt ook uit de figuur, door de schaal toe te passen. De spanwijdte is 1,4 m en in figuur 2b is die afstand 4,8 cm. De slaggrootte volgt uit een vergelijking van figuur 2a en 2c en is 2,0 cm. Dit geeft:
$d=\frac{1,40}{4,8}\cdot 2,0=0,583~\mathrm{m}$
Dit alles combineren geeft:
$St=\frac{f\cdot d}{v} \rightarrow v=\frac{f \cdot d}{St}=\frac{6,25\cdot 0,583}{0,30}=12~\mathrm{ms}^{-1}$
Uitwerking vraag (d)
- De steilheid van OA kan je berekenen door de verticale afstand tussen O en A te delen door de horizontale afstand.
De verticale afstand is precies de helft van de slaggrootte d, terwijl de horizontale afstand de helft van de afgelegde afstand in één periode is: x. Als je deze op elkaar deelt, krijg je:
$\frac{\frac{1}{2}d}{\frac{1}{2}x}=\frac{d}{x}=St$ - De stijlheid van lijn OB moet ook gelijk zijn aan St. Om punt B te vinden kan je de getekende lijn OA dus verlengen. Punt B is dan het snijpunt met de verticale lijn waarvoor geldt x = 0,60 m:
- De amplitude is af te lezen uit bovenstaande figuur en is 0,18 m. De slaggrootte is dan het dubbele: 0,36 m.
Uitwerking vraag (e)
- Er geldt:
$m=\propto k^3 ~~\&~~ A \propto k^2$
Dit invullen geeft:
$v\propto\sqrt{\frac{m}{A}}\propto\sqrt{\frac{k^3}{k^2}}=\sqrt{k}=k^{\frac{1}{2}}$ - Gebruik formule (1)
$St=\frac{f\cdot d}{v}$
Hierin is St constant en d ∝ k. Om St onafhankelijk van k te maken, moet het product van de f en d op dezelfde manier evenredig zijn met k als de snelheid v. Dit komt zo uit als p = -1/2, want dan:
$St=\frac{f\cdot d}{v}\propto \frac{k^{-\frac{1}{2}}k}{k^{\frac{1}{2}}}=1$ - Als de lengte van de vogel 4 maal zo groot wordt, wordt de slagfrequentie f 2 maal zo klein.
of
Als de lengte van de vogel 4 maal zo groot wordt, wordt de slagfrequentie f 1/2 maal zo groot.
