Op eerste kerstdag 2015 was er vroeg in de morgen een volle maan te zien. Sinds 1900 is er slechts drie keer een volle maan geweest op eerste kerstdag, aldus nu.nl. Als je op kerstavond, geprikkeld door dit bericht, naar de maan ging kijken, trof je in grote gedeeltes van Nederland een heldere nacht aan, waardoor je de maan goed kon zien. Als je goed keek zag je echter nog wat. In figuur 1 zie je een foto van de maan op kerstavond, gemaakt door de redacteur van Exaktueel. Op een ruime afstand van de maan is een lichtcirkel te zien. Dit fenomeen wordt een halo genoemd.
Zo'n halo is vaker te zien als er geen dichte bewolking is. Daarnaast moet er op grote hoogte, tussen de maan en de waarnemer, een wolk van ijskristallen aanwezig zijn.
a) Leg uit waarom wolken op grote hoogte bestaan uit ijs.
IJskristallen hebben soms de vorm van een zeskant prisma, zoals afgebeeld in figuur 2.
Lichtstralen afkomstig van de maan worden gebroken in zo’n ijskristalletje. De manier waarop ze gebroken worden hangt af van de hoek van inval en de plek waar de lichtstraal op het ijskristalletje invalt. In figuur 3 zie je een lichtstraal die onder een hoek invalt op een zijde van het ijskristalletje.
b) Leg uit waarom het licht dat uit de halo lijkt te komen in figuur 1 niet op de manier gebroken kan zijn zoals in figuur 3 afgebeeld staat. Gebruik een schets in jouw antwoord.
In figuur 4 staat een lichtstraal afgebeeld, die met een andere invalshoek valt op een ijskristalletje.
De afbuighoek δ is afhankelijk van de invalshoek van de invallende lichtstraal. Er blijkt een minimale waarde van de afbuighoek te zijn: δmin = 22°. We hebben nu alle ingrediënten om de waargenomen halo te kunnen verklaren.
In figuur 6 zijn de maan, zes ijskristallen, zes lichtstralen en een waarnemer getekend. Deze figuur is niet op schaal en de ijskristallen nemen hier allemaal een zelfde stand in. De lichtstralen die afgebogen worden door ijskristal 2 en 5 worden door de waarnemer gezien, de andere lichtstralen niet.
e) Leg uit dat de waarnemer geen licht kan zien dat uitgezonden wordt door de ijskristallen in de buurt van ijskristal 3 en 4 bij deze oriëntatie van de ijskristallen.
Het licht dat afgebogen wordt door ijskristal 2 en 5 wordt wel door de waarnemer gezien. Voor de waarnemer lijkt het echter niet afkomstig van de maan de zijn, maar afkomstig van een plek naast de maan.
f) Teken in een print van figuur 6 waar het licht afkomstig uit ijskristal 2 en 5 voor de waarnemer vandaan lijkt te komen.
Figuur 6 is een tweedimensionale weergave, met een enkele rij ijskristallen. Als de hele hemel gevuld was met ijskristallen zou de waarnemer een lichtboog om de maan heen zien: de halo.
g) Teken in jouw print van figuur 6 deze halo.
Niet alle ijskristallen zijn zo georiënteerd dat al het licht bij de waarnemer aankomt. De oriëntatie is willekeurig. Hierdoor wordt het licht in werkelijkheid ook in andere richtingen afgebogen.
h) Leg uit wat het verschil is voor de waarnemer tussen de situatie dat de ijskristallen willekeurig georiënteerd zijn en de situatie dat alle ijskristallen voor de waarnemer optimaal georiënteerd zouden zijn.
Uitwerking vraag (a)
Op grote hoogte is de temperatuur laag dat water druppels in de atmosfeer bevriezen tot ijskristallen.
Uitwerking vraag (b)
De lichtstralen die op de manier gebroken worden zoals afgebeeld is in figuur 3 veranderen niet van richting. Licht afkomstig van de maan zal dan dus ongebroken recht door de ijskristallen gaan. Het licht zal dan niet bij de waarnemer terecht komen en de waarnemer ziet geen halo ontstaan. Zie onderstaande schets.
Uitwerking vraag (c)
De invalshoek bij de tweede overgang (van ijs naar lucht) in de tekening is i2 = 79°. Dit is groter dan de grenshoek (zie Binas: ig = 49,8°), dus zal er spiegeling/totale interne reflectie plaats vinden. De invalshoek bij de volgende zijde is dan i3 = 38°, zie onderstaande figuur.
De brekingshoek is dan:
$\frac{\sin i_3}{\sin r_3}=\frac{1}{n}\rightarrow \sin^{-1}\left(n\cdot \sin i_3 \right )=\sin^{-1}\left(1,309\cdot \sin 38\degree \right )=54\degree$
Op de hoogte waar deze ijskristallen te vinden zijn zal er in werkelijkheid bijna een vacuüm zijn. De brekingsindex in de Binas geldt voor de overgang naar lucht. Het effect hiervan is voor deze opdracht echter verwaarloosbaar.
Uitwerking vraag (d)
De invalshoek bij de tweede overgang (van ijs naar lucht) is hier i2 = 21° . De brekingshoek is dan:
$\frac{\sin i_2}{\sin r_2}=\frac{1}{n}\rightarrow r_2= \sin^{1}\left(n\cdot \sin i_2 \right )=\sin^{-1}\left(1,309\cdot \sin 21\degree \right )=28\degree$
In onderstaande figuur is dit getekend:
Om de afbuighoek δ te vinden teken je vervolgens de invallende en uitgaande lichtstraal door:
Opmeten geeft een afbuighoek δ van 55°.
Uitwerking vraag (e)
Zoals in de tekst staat zou de waarnemer het licht alleen kunnen waarnemen als de lichtstralen minder sterk afgebogen worden. Er is echter een minimale afbuighoek van 22°. Lichtstralen afkomstig van ijskristallen in de buurt van ijskristal 3 en 4 kunnen dus nooit in het oog van de waarnemer terecht komen.
Uitwerking vraag (f)
Uitwerking vraag (g)
Uitwerking vraag (h)
Een (groot) deel van het licht zal afgebogen worden in een andere richting, en daardoor niet door de waarnemer waargenomen worden. Hierdoor zal de intensiteit van de halo in werkelijkheid kleiner zijn dan in het geval dat alle kristallen een optimale oriëntatie hebben.
