De relatie voor de energie tussen twee stelsels, $E = \gamma \cdot (E' + \beta \cdot p'c)$ , is afgeleid vanuit de situatie zoals die is figuur 1 is weergegeven. Met de waarnemer in het stilstaande stelsel moet een foton vanuit het bewegende stelsel dus naar links bewegen om waargenomen te worden. De impuls van dat foton is dan negatief.
Met een telescoop op aarde neemt men de Hα-lijn ( $\lambda ' = 656,28 \: \text{nm}$ ) van een emissienevel waar bij een iets grotere golflengte van $\lambda = 656,29 \: \text{nm}$ . Let op: in de oorspronkelijk vraag in Pulsar staan onjuiste waarden.
De energie van een foton is $E = hf = h \cdot \frac{c}{\lambda}$ .
Vraag a. Leg met de formule voor de relatie voor de energie tussen stelsels uit of de nevel naar de aarde toe of er vanaf beweegt.
Omdat de waargenomen golflengte groter is dan in het stelsel van de nevel, is de energie van het ontvangen foton kleiner dan in het stelsel van de nevel. Oftewel:
$E < E'$
De formule voor de relatie voor de energie tussen twee stelsels luidt:
$E = \gamma \cdot (E' + \beta \cdot p'c)$
Omdat p' negatief is en E kleiner dan E' volgt dat β positief is, en de nevel van de waarnemer af beweegt.
Vraag b. Gebruik de uitdrukking voor de impuls van een foton $p_{\text{foton}} = \frac{h}{\lambda}$ samen met de formule uit vraag a om de verhouding van de golflengten: $\frac{\lambda'}{\lambda}$ uit te drukken in β.
Invullen geeft:
$\frac{hc}{\lambda }=\gamma \cdot (\frac{hc}{\lambda '} - \beta \frac{h}{\lambda '}\cdot c)$
Wegdelen geeft:
$\frac{1}{\lambda } = \gamma \cdot (\frac{1}{\lambda ' } - \beta \frac{1}{\lambda '})$
Wat kan worden herschreven tot:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \gamma \cdot (1-\beta) = \frac{1-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1-\beta}{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}$
Omdat geldt:
$\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
Kan de laatste term worden herschreven tot:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$
Vraag c. Bereken de snelheid van de emissienevel ten opzichte van de aarde.
$\sqrt{\frac{1-\beta }{1+ \beta }}= \frac{\lambda '}{\lambda }= \frac{656,28}{656.29} = 0,99998476$
Hieruit volgt:
$\beta = 1,524\cdot 10^{-5}$
Gebruikmaken van
$v = \beta \cdot c$
volgt hieruit:
$v = 4,6 \: \text{km/s}$
