Een witte biljartbal wordt centraal op een stilstaande, rode biljartbal geschoten (zie figuur 1). Omdat beide ballen dezelfde massa hebben, is het handig om de botsing in het zwaartepuntstelsel te berekenen. In het zwaartepuntstelsel bewegen beide ballen dan met een even grote, maar tegengesteld gerichte snelheid naar elkaar toe. De onderlinge snelheid is v0.
Vraag a. Bereken de snelheid van beide ballen in het zwaartepuntstelsel uitgedrukt in v0.
0,5v0 en -0,5v0
Vraag b. Hoe groot is de snelheid van het zwaartepuntstelsel ten opzichte van de biljarttafel?
0,5v0
De vragen a en b kon je oplossen door te bedenken dat je snelheden 'gewoon' bij elkaar kunt optellen. Bij grote snelheden is dat echter niet meer het geval, en moet je de formule voor het relativistisch optellen van snelheden gebruiken.
$\beta_s = \frac{\beta + \beta_{s'}}{1 + \beta \beta_{s'}}$
Met βs de snelheid (gedeeld door de lichtsnelheid) van het voorwerp ten opzichte van een stilstaand assenstelsel (S), βs' de snelheid (gedeeld door de lichtsnelheid) van hetzelfde voorwerp ten opzichte van het bewegende assenstelsel (S') en β de snelheid (gedeeld door de lichtsnelheid) van S' ten opzichte van S.
Een proton 1 wordt met een snelheid $v_1 = \beta \cdot c = 0,\!8 \cdot c$ in een vat met vloeibare waterstof geschoten en botst daarbij op een stilstaand proton 2. In het zwaartepuntstelsel is de snelheid van proton 1 $v_1' = \beta' \cdot c$ .
Vraag c. Hoe groot is de snelheid van proton 2 in het zwaartepuntstelsel uitgedrukt in β'?
$v_2' = -\beta' \cdot c$
Vraag d. Hoe groot is de snelheid vzp van het zwaartepunt ten opzichte van proton 2?
$v_{zp} = + \beta' \cdot c$
Als je, relativistisch, de snelheid v1' van proton 1 in het zwaartepuntsstelsel optelt bij de snelheid vzp van het zwaartepunt ten opzichte van proton 2, dan krijg je weer de snelheid waarmee proton 1 op proton 2 botst.
Vraag e. Bereken hiermee de grootte van β'?
$\beta_1 = \frac{\beta_1' + \beta_{\text{zp}}}{1 + \beta_1'\beta_{\text{zp}}}$
Invullen geeft:
$v_1 = \beta_1 \cdot c = 0,\!8 \cdot c = \frac{\beta' + \beta'}{1 + (\beta')^2} \cdot c \rightarrow 0,\!8 \cdot (1 + (\beta')^2) = 2 \cdot \beta'$
$0,\!8 + 0,\!8 \beta'^2 = 2\beta'$
Met behulp van de abc-formule kan β' nu worden berekend:
$\beta' = \frac{2-\sqrt{4 - 4 \cdot 0,\!8 \cdot 0,\!8}}{2 \cdot 0,\!8} = 0,\!5$
