Twee sterke lichtflitsen worden in dezelfde richting door een waarnemer op aarde op hetzelfde tijdstip t0 waargenomen. De lichtflitsen blijken afkomstig van bronnen die 1,0 lichtjaar van elkaar verwijderd zijn. In een ruimtevaartuig dat zich met 25% van de lichtsnelheid van de aarde verwijdert neemt men dezelfde lichtflitsen waar.
Vraag a. Teken de situatie in een Minkowskidiagram.
De lijnen x' en ct' vormen het stelsel van het ruimtevaartuig. De helling van de x'-as is 1/4 wat correspondeert met een snelheid van 25% van de lichtsnelheid. Deze zelfde hoek zit tussen ct- en ct'-as.
De afstand tussen x2 en x1 is gelijk aan 1 hokje, de twee bronnen staan namelijk 1 lichtjaar van elkaar af.
De lichtflits wordt terug gestuurd naar aarde (in de negatieve x-richting) en heeft net als elke andere lichtflits een richtingscoëfficiënt van (+ of -) 1.
Vraag b. Laat aan de hand van het diagram zien dat ook in het ruimtevaartuig de lichtflitsen op hetzelfde moment worden waargenomen.
Zoals uit antwoord a blijkt, komen de lichtstralen op hetzelfde moment aan bij het ruimteschip.
De lichtlijnen vanuit de punten snijden namelijk de ct'-as in hetzelfde punt.
(Het gaat niet om het moment van productie, maar om het moment dat de lichtflitsen worden waargenomen. Zoals uit de figuur bij antwoord a blijkt worden de lichtflitsen ook voor het ruimtevaartuig op een ander moment geproduceerd (ct'1 en ct'2)).
Vraag c. Hoe groot is, vanaf de aarde gezien, het tijdsverschil tussen de momenten waarop beide lichtflitsen geproduceerd werden?
$\Delta x = x_1 - x_2 = 1 \text{ lichtjaar}$
$\Delta t = \frac{\Delta x}{c} = 1 \text{ jaar}$
Vraag d. Bereken het tijdsverschil voor de waarnemer in het ruimtevaartuig.
$c\Delta t' = \gamma \cdot (ct_2 - \beta x_2) -\gamma \cdot (ct_1 - \beta x_1) = \gamma(c(t_2-t_1) - \beta(x_2-x_1))$
$= \gamma \cdot (c\Delta t - \beta \Delta x)$
Invullen geeft:
$c\Delta t' = \gamma \cdot (1-\beta)$
$\beta = 0,\!25 \rightarrow \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = 1,\!033$
Combineren van waarden en formule geeft:
$c\Delta t' = 0,\!77 \text{ lichtjaar} \rightarrow \Delta t' = 0,\!77 \text{ jaar}$
