De Lorentztransformaties zijn als volgt:
$x = \gamma \cdot (x' + \beta ct')$
$ct = \gamma \cdot (ct' + \beta x')$
Vraag a. Leid de inverse Lorentztransformaties af door te bedenken dat als het bewegende voorwerp naar rechts beweegt, je net zo goed kunt zeggen dat de waarnemer ten opzichte van dat voorwerp naar links beweegt.
Omdat de beweging de andere kant op gaat krijgt β (= v / c) een minteken.
Hierdoor worden de inverse Lorentztransformaties:
$x' = \gamma \cdot (x - \beta ct)$
en:
$ct' = \gamma \cdot (ct - \beta x)$
Voor de ct'-as geldt dat x'=0.
Vraag b. Leid met één van de twee inverse relaties de functie tussen x en ct af voor de ct'-as van het bewegende stelsel.
$x' = \gamma \cdot (x - \beta ct) = 0$
Hieruit volgt:
$x - \beta ct = 0 \rightarrow x = \beta ct \rightarrow ct = \frac{x}{\beta}$
Vraag c. Doe hetzelfde voor de x'-as van het bewegende stelsel.
Voor de x'-as geldt:
$ct' = \gamma \cdot (ct - \beta x) = 0$
Hieruit volgt dat:
$ct - \beta x = 0 \rightarrow ct = \beta x$
Vraag d. Hoe volgt uit beide functies dat de ct-as en de ct'-as dezelfde hoek met elkaar maken als de x- en de x'-as?
Voor O′ geldt x′=0. De vergelijking voor de ct′-as is dan
$ct'= \frac{x}{\beta}$
De tangens van de hoek tussen de ct-as en de ct′-as is dan β.
Voor de x′-as geldt t′=0 zodat de vergelijking daarvoor gegeven wordt door:
$ct = \beta x$
De tangens van de hoek tussen de x-as en de x′-as is dan ook β.
