De gemiddelde levenduur van een muon is:
$\Delta t' = 2,\!20 \> \mu \text{s}$
Vraag a. Bereken de afstand die een muon maximaal kan afleggen voordat het vervalt.
De muonen kunnen niet harder gaan dan de lichtsnelheid. De afstand die ze dan maximaal kunnen afleggen voor ze vervallen is dan:
$x = v \cdot t = 2,\!998 \cdot 10^8 \cdot 2,\!2 \cdot 10^{-6} = 660 \text{ m}$
Het proces van de muon-vorming vindt in de atmosfeer plaats op een hoogte van ongeveer 10,0 km. Ondanks het resultaat van opdracht a neemt men op het aardoppervlak toch muonen waar. Dat komt vanwege de tijdrek. Het verval van het muon verloopt, vanwege zijn hoge snelheid, voor een waarnemer op aarde langzamer. Je wilt de minimale snelheid v van het muon berekenen opdat deze vanaf een hoogte van 10,0 km het aardoppervlak toch bereikt.
Vraag b. Laat zien dat uit de af te leggen weg van het muon v . Δt = 10,0 km volgt, dat de minimale waarde van γ . β =15.2.
Er moet gelden:
$v \cdot \Delta t = 10,\!0 \text{ km}$
Hierbij is $v = \beta \cdot c$ de snelheid van het muon en:
$\Delta t$ de, op aarde gemeten, levensduur van het muon.
Hiervoor geldt:
$\Delta t = \gamma \cdot \Delta t '$
met daarin voor de levensduur van het muon in z′n eigen stelsel: $\Delta t' = 2,\!2 \> \mu \text{s}$ .
Er geldt dus:
$10,\!0 \cdot 10^{3} = \beta \cdot c \cdot \gamma \cdot \Delta t'$
Wat omgeschreven kan worden tot:
$\beta \cdot \gamma = \frac{10,\!0 \cdot 10^{3}}{c \cdot \Delta t'} = \frac{10,\!0 \cdot 10^{3}}{2,\!998 \cdot 10^8 \cdot 2,\!20 \cdot 10^{-6}} = 15,\!2$
Vraag c. Waarom kun je direct aan de waarde van γ . β zien (dus zonder berekening) dat $\beta \approx 1$ ?
$\gamma \cdot \beta$ kan alleen een waarde hebben die veel groter is dan 1 als $\gamma$ veel groter dan 1 is.
Dan is $\beta \approx 1$
Vraag d. Geef een goede benadering voor de waarde van γ.
Omdat $\beta \approx 1$
en $\gamma \cdot \beta = 15,\!2$
geldt: $\gamma \approx 15,\!2$
Vraag e. Bereken uit het resultaat van vraag d de minimale waarde van β en daaruit de minimale snelheid die een muon moet hebben om vanaf een hoogte van 10,0 km de aarde toch te bereiken.
$\beta = \sqrt{1- \frac{1}{\gamma ^2}} = 0,\!998$
Dus de muonen hebben een snelheid van minstens 0,998c.
Er is ook een snellere manier om tot deze waarde van $\beta$ (en daarmee de snelheid) te komen.
Omdat geldt (zie ook vraag c) dat $\beta \approx 1$ kun je de minimale tijd die een muon moet leven om op aarde te komen berekenen met: $t = \frac{x}{c} = \frac{10000}{2,998\cdot 10^8} = 33,36 \mu s$ . Dat is $15,16$ maal de gemiddelde levensduur van een muon.
Dan moet voor de tijddilatatie een minimale $\gamma$ gelden van: $\gamma = 15,16$ .
Dus $\beta = \sqrt{1-\gamma ^2} = 0,9978$
