Examenopgave VWO, natuurkunde, voorbeeldexamen 2016, opgave 4: Maanrobotjes
Sinds astronaut Jack Schmidt in 1972 de maan verliet, zijn er geen mensen meer op de maan geweest. De Nederlandse Nobelprijswinnaar Gerard ’t Hooft denkt dat dit op korte termijn ook niet meer zal gebeuren. In zijn boek ‘Playing with planets’ beschrijft hij een plan om de maan te koloniseren met behulp van minirobotjes. Zie figuur 1. Zo’n maanrobotje is voorzien van een camera en kan via internet bestuurd worden. Iedereen kan zo zelf via internet de maan verkennen.
Een moeilijkheid bij het besturen op afstand is de tijd tussen het geven van een commando en het waarnemen van het resultaat hiervan op het beeldscherm. Dit komt niet alleen door trage internetverbindingen, maar ook door de tijd Δt die verstrijkt tussen het zenden en ontvangen van signalen naar en van de maan.
Vraag a. Bereken Δt en noem een concrete moeilijkheid die kan ontstaan bij het besturen op afstand. Verwaarloos de tijd die maanrobotjes nodig hebben om signalen te verwerken.
$\Delta t = \frac{\Delta s}{v}$
s is twee keer de afstand tot de maan (signaal heen en terug) en v is de lichtsnelheid.
Invullen geeft:
$\Delta t = \frac{2 \cdot 384,\!4 \cdot 10^{6}}{2,\!998 \cdot 10^{8}} = 2,\!564 \text{ s}$
Als je niet ver genoeg vooruit kijkt, kun je dus een aanrijding krijgen.
Om commando’s over te brengen, gebruikt men radiocommunicatie. Hiertoe zendt men vanaf de aarde een draaggolf van 2,11 GHz uit (uplink), waarvan de frequentie na ontvangst in een maanrobotje met een factor 240/221 wordt vermenigvuldigd en teruggezonden (downlink). Even later wordt het downlink-signaal op aarde ontvangen, terugvermenigvuldigd en met het oorspronkelijke signaal vergeleken. De commando’s worden gegeven door de draaggolf met een bandbreedte van 40 MHz te moduleren. Het vermenigvuldigen met de factor 240/221 zorgt ervoor dat de uplink- en downlink-signalen in gescheiden kanalen zitten.
Vraag b. Toon dat met een berekening aan.
De downlink draaggolf heeft een frequentie van:
$\frac{240}{221} \cdot 2,\!11 \text{ GHz} = 2,\!29 \text{ GHz}$
Voor de grootste frequentie van de uplink geldt:
$f = 2,\!11 \cdot 10^{9} + 20 \cdot 10^{6} = 2,\!13 \cdot 10^{9} \text{ Hz}$
Voor de kleinste frequentie van de downlink geldt:
$f = 2,\!29 \cdot 10^{9} - 20 \cdot 10^{6} = 2,\!27 \cdot 10^{9} \text{ Hz}$
De grootste frequentie in de uplink is dus kleiner dan de kleinste frequentie in de downlink.
Zonder kanaalscheiding treedt er storing op tussen de uplink- en downlink-signalen.
Vraag c. Leg uit door welk natuurkundig verschijnsel deze storing veroorzaakt wordt en wat daarvan het gevolg is.
Twee signalen in hetzelfde kanaal zullen elkaar door de gelijke frequentie ten gevolge van interferentie hinderlijk storen.
Een ruimtevaartorganisatie als de NASA of de ESA zou een ruimteschip naar de maan kunnen sturen om de maanrobotjes af te leveren. Daarbij kan gebruik worden gemaakt van een methode waarbij een ruimteschip rechtstreeks van de aarde naar de maan vliegt. Zie figuur 2.
Voor de lancering van zo’n ruimteschip wordt gebruik gemaakt van een stuwraket. Nadat de stuwraket op een hoogte van 300 km boven het aardoppervlak wordt afgeworpen, moet het ruimteschip voldoende snelheid hebben om de maan te bereiken. De massa van het ruimteschip inclusief de maanrobotjes is 4,0. 103 kg.
Vraag d. Bereken de hoeveelheid kinetische energie die het ruimteschip op een hoogte van 300 km moet hebben om de maan te bereiken. Verwaarloos de gravitatiekracht van de maan op het ruimteschip.
De benodigde kinetische energie komt overeen met het verschil tussen de gravitatie-energie op het maanoppervlak en de gravitatie-energie op 300 km boven de aarde.
$E_{\text{k}} = \Delta E_{\text{grav}} = -GmM\Big(\frac{1}{r_{1}}- \frac{1}{r_{2}} \Big)$
Invullen geeft:
$E_{\text{k}} = -6,\!673 \cdot 10^{-11} \cdot 4,\!0 \cdot 10^{-3} \cdot 5,\!976 \cdot 10^{24} \cdot \Big(\frac{1}{r_{1}}- \frac{1}{r_{2}} \Big)\,$
Met daarin:
$r_{1} = 384,\!4 \cdot 10^{6} - 1,\!74 \cdot 10^{6} \text{ en } r_{2} = 6,\!38 \cdot 10^{6} + 3,\!00 \cdot 10^{5}$
Dit geeft een uiteindelijke waarde van:
$E_{\text{k}} = 2.35 \cdot 10^{11} \text{ J}$
In werkelijkheid is de gravitatiekracht van de maan op het ruimteschip niet te verwaarlozen. Op de reis zal het ruimteschip een punt passeren waar de gravitatiekracht van de aarde even groot is als de gravitatiekracht van de maan.
In figuur 3 staan zeven plaatsen (B tot en met H) waar dit punt zich mogelijk bevindt. De afstanden in deze figuur zijn op schaal. Voor ieder punt is aangegeven hoe de afstand van het punt tot het midden van de maan zich verhoudt tot de afstand van het punt tot het midden van de aarde.
Vraag e. Waarom kunnen de plaatsen B tot en met E zeker niet juist zijn?
Het juiste punt moet verder van de aarde dan van de maan afliggen, omdat de massa van de aarde groter is dan de massa van de maan.
Vraag f. Geef aan welke van de plaatsen F, G of H de juiste is. Licht je antwoord toe met een berekening.
Op de juiste plaats geldt:
$F_\text{grav, aarde} = F_{\text{grav, maan}} \rightarrow \frac{GmM_{\text{aarde}}}{r_{\text{aarde}}^{2}} = \frac{GmM_{\text{maan}}}{r_{\text{maan}}^{2}}$
Oftewel:
$\frac{M_\text{aarde}}{r_{\text{aarde}}^{2}} = \frac{M_\text{maan}}{r_{\text{maan}}^{2}}$
Hieruit volgt:
$\frac{r_{\text{maan}}}{r_{\text{aarde}}} = \sqrt{\frac{M_\text{maan}}{M_\text{aarde}}} = \sqrt{\frac{0,\!0735 \cdot 10^{24}}{5,\!976 \cdot 10^{24}}} = 0,\!111$
Dus G is de juiste plaats.
De maanrobotjes maken voor hun energievoorziening gebruik van zonnepanelen. Bij de keuze van het materiaal van deze zonnepanelen moet rekening worden gehouden met de golflengtes van het opvallende zonlicht.
De opbrengst van de zonnepanelen zal het hoogst zijn wanneer deze geoptimaliseerd worden voor de golflengte waarbij de zon de meeste energie uitzendt.
Vraag g. Bereken die golflengte.
$\lambda_{\text{max}} = \frac{k_\text{w}}{T_{\text{eff}}} \> \wedge \> T_{\text{eff, zon}} = 5,\!78 \cdot 10^{3} \text{ K}$
Invullen geeft:
$\lambda_{\text{max}} = \frac{2,\!898 \cdot 10^{-3}}{5,\!78 \cdot 10^{3}} = 5,\!01 \cdot 10^{-7} \text{ m}$
In de straling van de zon komen niet alle golflengten voor. In tabel 20 van BINAS zijn donkere lijnen in het zonnespectrum te zien. Een aantal van deze lijnen wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van waterstof in de buitenste laag van de zon.
Vraag h. Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef de golflengte van één van de donkere lijnen in het zichtbare gebied van het zonnespectrum die worden veroorzaakt door de aanwezigheid van waterstof.
- Leg uit waarom je deze lijn gekozen hebt.
- Bepaal met behulp van Binas de fotonenergie die hoort bij de gekozen lijn. Geef je antwoord in joule.
Er zijn meerdere methodes (Alle lijnen uit de Balmer-reeks mogen gekozen worden.)
Methode 1:
De lijnen die een gevolg zijn van absorptie door waterstof moeten ook in het emissiespectrum van waterstof zitten.
Voor een lijn in het zichtbare gebied geldt: λ = 656 nm.
De energie van het foton kan nu worden berekend:
$E_{\text{f}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6,\!626 \cdot 10^{-34} \cdot 2,\!998 \cdot 10^{8}}{6,\!56 \cdot 10^{-7}} = 3,\!03 \cdot 10^{-19} \text{ J}$
Methode 2:
De lijnen die een gevolg zijn van absorptie door waterstof moeten ook in het emissiespectrum van waterstof zitten.
Voor een lijn in het zichtbare gebied geldt: λ = 656 nm.
Aflezen in tabel 21A levert:
$E_{\text{f}} = 12,\!0888 - 10,\!2002 = 1,\!8886 \text{ eV} = 3,\!03 \cdot 10^{-19} \text{ J}$
