Ongeveer 380.000 jaar na de oerknal was de temperatuur van het heelal zo ver gedaald dat de protonen elektronen konden ‘vangen’ en vasthouden: hierdoor werden voor het eerst stabiele waterstofatomen gevormd. Driekwart van de zichtbare materie van het heelal bestaat uit het element waterstof, de grondstof van de energieproductie van alle sterren. Zonder quantumfysica valt het bestaan van stabiel waterstof echter niet te begrijpen!
Klassiek
Het klassieke beeld van het waterstof atoom is dat van een micro-zonnestelsel, waarin het elektron als een puntlading op een afstand a0 (BiNaS tabel 7) in een cirkelbaan om de kern draait. Zie figuur 1. Het elektron ondergaat een middelpuntzoekende versnelling als gevolg van de aantrekkingskracht van de kern. Dit proces kan worden beschreven in een model. Volgens de theorie van het elektromagnetisme zendt een afbuigend elektron straling uit. Hierdoor neemt de energie van het elektron elke seconde af met een hoeveelheid gelijk aan:
$P_{\text{str}} = \frac{c_{1}}{r^{4}}$
Hierin is:
- $c_{1}$ een constante, zie figuur 2
- $r$ de straal in pm (10-12 m)
Vraag a. Voer de volgende opdrachten uit:
− Vul de modelregel voor Et aan.
− Geef aan waarom de startwaarde van Et een negatieve waarde heeft.
− Bereken de startwaarde van c2.
- Et = Et - Pstr*dt
- Het elektron is gebonden in het atoom. Dit wordt aangegeven met een negatieve energie.
- Omschrijven van:
$r = \frac{c_{2}}{E_{t}}$
geeft:
$c_{2} = r \cdot E_{t}$
$r = a_{0} = 52,9 \text{ pm}$
Invullen geeft:
$c_{2} = -2,18 \cdot 10^{-18} \cdot 52,9 = -1,15 \cdot 10^{-16}$
Uit het model kan men het (r,t)-diagram afleiden. Zie figuur 3.
Vraag b. Voer de volgende opdrachten uit met behulp van figuur 3.
- Beschrijf het verloop van de naar binnen gerichte snelheid.
- Beschrijf wat er gebeurt op t = 1,55 . 10-11 s
- De negatieve helling van de grafiek wordt steeds negatiever, dus de naar binnen gerichte radiale snelheid neemt continu toe.
- Op dat tijdstip nadert de straal tot nul, dus het elektron valt op de kern.
Quantum
Het is echter in strijd met het onbepaaldsheidsprincipe als het elektron op de kern zou stilvallen.
Vraag c. Leg dit uit.
Er is geen precieze bepaling van $\vec{r}$ en $\vec{p}$ mogelijk zodat het elektron niet volgens de klassieke wetten met $\vec{r} = \vec{p} = 0$ op de kern kan vallen. Dit zou namelijk
$\Delta p \Delta r = 0$
opleveren en dat is in strijd met het onbepaaldheidsprincipe.
Het elektron beweegt dus niet in een cirkelvormige baan met vaste omlooptijd, maar wordt in de quantumfysica beschreven met een waarschijnlijkheidsverdeling W. De kans om het waterstof-elektron op een afstand tussen r1 en r2 van de kern aan te treffen, wordt gegeven door de overeenkomstige oppervlakte onder de grafiek. Het maximum van W ligt bij atoomstraal a0. Zie figuur 4.
De grafiek van figuur 4 is onderwerp van discussie tussen een aantal leerlingen.
− Myrthe meent dat de oppervlakte nooit gelijk aan 1 kan zijn, omdat de grafiek een asymptoot heeft.
− Jim zegt dat de totale oppervlakte onder de kromme gelijk aan 1 is, omdat dat gelijk is aan de totale kans om het elektron te vinden.
− Johan zegt dat de kans om het elektron binnen een gebiedje Δr = 10 pm aan te treffen, het grootst is rondom r = a0.
− Volgens Ingrid kun je aan de grafiek zien dat de kans om een elektron tussen r = 0 (de kern) en r = a0 aan te treffen, ongeveer twee keer zo klein is als voor r > a0.
− José zegt dat de kans om een elektron aan treffen, voor r < a0 en r > a0 gelijk moet zijn.
Vraag d. Geef aan wie van de leerlingen gelijk heeft/hebben.
De Broglie stelde de impuls van het elektron in de meest waarschijnlijke baan gelijk aan:
$p = \frac{h}{2\pi r}$
De bovenstaande formule van De Broglie is niet in strijd met de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg. Om dat aan te tonen gaan we ervan uit dat:
$\Delta p \leq p \text{ en } \Delta r \leq r$
Vraag e. Leg uit dat de formule van De Broglie niet in strijd is met de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg.
$p = \frac{h}{2\pi r}$
kan worden herschreven tot:
$pr = \frac{h}{2\pi}$
Invullen geeft:
$\Delta p \Delta r \leq \frac{h}{2\pi}$
Omdat er ook geldt:
$\frac{h}{2\pi} > \frac{h}{4\pi}$
is dit niet in strijd met:
$\Delta p \Delta r \geq \frac{h}{4\pi}$
De totale energie van het elektron is de som van de kinetische en de potentiële energie:
$E_{t} = E_{k} + E_{p}$
Het is handig om zowel Ek als Ep uit te drukken in de straal r. Er geldt:
$E_{k} = k_{1} \cdot r^{-2} \text{ met } k_{1} = 6,10 \cdot 10^{-39} \text{ Jm}^{2}$
en:
$E_{p} = k_{2} \cdot r^{-1} \text{ met } k_{2} = 2,31 \cdot 10^{-28} \text{ Jm}$
Vraag f. Toon met een berekening aan dat de waarde k1 klopt.
Voor de energie geldt:
$E_{k} = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{p^{2}}{2m}$
En de impuls wordt gegeven door:
$p = \frac{h}{2\pi r}$
Dus voor de kinetische energie geldt:
$E_{k} = \frac{h^{2}}{8\pi^{2}mr^{2}}$
Combineren met:
$E_{k} = k_{1} \cdot r^{-2}$
geeft:
$k_{1} = \frac{h^{2}}{8\pi^{2}m}$
Invullen geeft:
$k_{1} = \frac{(6,626\cdot 10^{-34})^{2}}{8\pi^{2} \cdot 9,109 \cdot 10^{-31}} = 6,10 \cdot 10^{-39} \text{ Jm}^{2}$
In de grondtoestand, bij de meest waarschijnlijke waarde van r, is de waarde van Et minimaal. Er geldt dan dus:
$\frac{dE_{t}}{dr} = 0$
Vraag g. Voer de volgende opdrachten uit:
- Toon aan dat bij een minimale energie Et geldt dat $r = \frac{2k_{1}}{k_{2}}$
- Toon aan dat deze meest waarschijnlijke r gelijk is aan a0.
- $\frac{dE_{t}}{dr} = 0 \rightarrow -2k_{1}r^{-3} - (-k_{2}r^{-2}) = 0$
Dit oplossen geeft:
$r = \frac{2k_{1}}{k_{2}}$
- Invullen geeft:
$r = \frac{2 \cdot 6,10 \cdot 10^{-39}}{2,31 \cdot 10^{-28}} = 5,3 \cdot 10^{-11} \text{ m} = a_{0}$
De op deze manier gevonden energie van de grondtoestand komt overeen met de waarde uit de theorie van Bohr: Et = − 13,6 eV.
Vraag h. Toon dit aan.
Invullen van
$r = \frac{2k_{1}}{k_{2}}$
in
$E_{t} = k_{1}r^{-2} - k_{2}r^{-1}$
geeft:
$E_{t} = \frac{k_{2}^{2}}{4k_{1}} - \frac{k_{2}^{2}}{2k_{1}} = -\frac{k_{2}^{2}}{4k_{1}}$
Invullen van de waarden geeft:
$E_{t} = -\frac{(2,31 \cdot 10^{-28})^{2}}{4 \cdot 6,10 \cdot 10^{-39}} = -2,18 \cdot 10^{-18} \text{ J} = -13,6 \text{ eV}$
