Begin met het lezen van de vetgedrukte tekst.
Vleugels van vliegtuigen trillen tijdens het vliegen ten gevolge van de grote krachten die ze ondervinden. Daardoor kan het metaal zijn sterkte verliezen en de vleugel kan afbreken. We spreken dan van metaalmoeheid. Wetenschappers onderzoeken de oorzaak van metaalmoeheid. Hun kennis wordt toegepast om veilige constructies te maken.
In het reactorinstituut van de TU-Delft doet men onderzoek naar metaalmoeheid. Men beschiet het metaal met positronen. Een positron is een deeltje met massa gelijk aan die van een elektron, maar met een positieve lading. Als positronenbron gebruikt men Na-22.
Vraag a. Geef de vervalvergelijking van Na-22.
$^{22}_{11}\text{Na}\rightarrow ^{22}_{10}\text{Ne} + ^{0}_{1}e^{+} + \gamma (+\nu _e)$
Bij aanschaf had de Na-22 bron een activiteit 1,1 MBq. Op een bepaald moment is de activiteit van de bron gedaald naar 0,17 MBq en is deze niet meer bruikbaar voor het experiment.
Vraag b. Bereken na hoeveel tijd dit het geval is.
Er geldt:
$A=A_0 \cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^{\frac{t}{t_\frac{1}{2}}}$
Invullen geeft:
$0,17=1,1\cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^{\frac{t}{t_\frac{1}{2}}}$
$t=2,69 \cdot t_\frac{1}{2}=2,69 \cdot 2,6=7,0 \text{ jaar}$
Metaalmoeheid heeft te maken met roostergaten in het metaal. Er is sprake van een roostergat als er één of meer atomen in het metaalrooster ontbreken. In figuur 2 is schematisch een metaalrooster getekend met een klein en een groot roostergat. Met name grote roostergaten zorgen voor metaalmoeheid.
Eén positronen kan (net als bij een PET-scan) annihileren met één elektron in het metaal. Dat wil zeggen dat de massa van de twee deeltjes omgezet wordt in de energie van de twee gamma-fotonen, elk met een energie van 0,51 MeV.
De levensduur van het positron wordt bepaald met behulp van twee verschillende fotonen. Het eerste foton start een klok. Dit is het gamma-foton dat tegelijk met het positron uit de Na-22-bron vrijkomt en een energie heeft van 1,3 MeV. Het tweede foton stopt de klok. Dit is een gamma-foton met een energie van 0,51 MeV dat vrijkomt bij de annihilatie. De tijdmeting is symbolisch weergegeven in figuur 3.
Om er zeker van te zijn dat twee gedetecteerde fotonen bij elkaar horen, gebruikt men in ieder geval de volgende gegevens:
− Het feit dat ze verschillende energieën hebben.
− De tijd tussen de twee detecties.
Vraag c. Leg het gebruik van beide gegevens uit.
- Omdat de energieën verschillend zijn, kan de volgorde bepaald worden. Noodzakelijke voorwaarde is dat het foton met een energie van 1,3 MeV eerder gedetecteerd wordt dan een foton met een energie van 0,51 MeV.
- De tijd tussen de twee detecties mag niet groter en niet kleiner zijn dan natuurkundig mogelijk is bij één positron.
In het experiment worden positronen op Aluminium geschoten, waar ze onmiddellijk door het metaalrooster afgeremd worden tot een (thermische) energie van 0,040 eV. Als er geen roostergaten zouden zijn, bewegen de positronen met deze energie vrij door het rooster. De roosterafstand (de afstand tussen de atomen in het metaalrooster) van Aluminium is 0,41 nm.
Vraag d. Voer de volgende opdrachten uit:
− Bereken de debroglie-golflengte van deze vrije positronen.
− Bereken met hoeveel roosterafstanden deze golflengte overeen komt.
De debroglie-golflengte wordt gegeven door:
$\lambda _B =\frac{h}{p}$
Verder is de impuls gelijk aan:
$p =mv$
En de kinetische energie:
$E_k=\frac{1}{2}mv^{2}$
Combineren van deze drie formules geeft:
$\lambda _B=\frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$
Invullen geeft:
$\lambda _B=\frac{6,626\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9,11 \cdot 10^{-31}\cdot 4\cdot 10^{-2}\cdot 1,602\cdot 10^{-19}}}=6,1\cdot 10^{-9}\text{ m}$
Dit komt overeen met:
$\frac{6,1\cdot 10^{-9}}{0,4\cdot 10^{-9}}=15 \text{ roosterafstanden}$
In een roostergat ontbreekt positieve lading. In figuur 4 zijn de waarschijnlijkheidsverdeling W van een elektron en een positron bij een roostergat weergegeven als functie van de afstand tot het midden van het roostergat. De breedte van het roostergat is 0,8 nm.
Vraag e. Voer de volgende opdrachten uit:
− Leg uit dat de getrokken waarschijnlijkheidsverdeling bij een elektron hoort en de gestippelde bij een positron.
− Leg uit aan de hand van figuur 3 waarom de levensduur van een positron verlengd wordt als hij in een roostergat komt.
-De gestippelde lijn geeft de waarschijnlijksverdeling W van het positron: de kans is in het midden van het roostergat het grootst omdat er afstotende positieve ladingen omheen zijn. De getekende lijn is de waarschijnlijksverdeling W van het elektron.
-Doordat de waarschijnlijkheidsverdeling W van het positron zich concentreert bij het roostergat, wordt de kans om een elektron aan te treffen en tot annihilatie te komen kleiner. Daarmee wordt de levensduur verlengd.
Bij roostergaten ontbreken er vaak niet één, maar meerdere atomen. In figuur 5 is de levensduur van een positron in het metaal weergegeven bij verschillende groottes van het roostergat.
In de grafiek is te zien dat de levensduur toeneemt met het aantal ontbrekende atomen in het roostergat. In figuur 6 staan drie tekeningen met waarschijnlijkheidsverdelingen van een (geleidings)elektron en een positron rond een roostergat: voor een klein gat, voor een middelgroot gat en voor een groot gat.
Vraag f. Gebruik de tekeningen van figuur 6 om het verloop van figuur 5 te verklaren.
Er is kans op annihilatie als de twee waarschijnlijkheidsverdelingen W in figuur 5 elkaar overlappen. Te zien is dat deze overlap bij meerdere ontbrekende ionen afneemt. Dit verklaart dat de levensduur toeneemt bij het aantal ontbrekende atomen.
