Voorbeeld examenvraag quantumwereld
Bij het onderzoek naar oppervlakteverschijnselen aan metalen maken natuurkundige onderzoekers gebruik van gepulste lasers. Dat wil zeggen dat er geen continue stroom fotonen is, maar dat de fotonen in pakketjes komen. Zie figuur 1.
Voor het onderzoek is het belangrijk dat de pulsduur en de herhalingstijd zeer kort zijn en dat de fotonen één bepaalde energie hebben. Maar bij dit streven lopen de wetenschappers op tegen de beperkingen die de quantumfysica ze daarbij oplegt. Eén manier om een gepulste laser te maken is een continue laser te ‘choppen’ met een ‘chopper wheel’, een ronddraaiende schijf met afwisselend openingen en dichte stukken. Zie figuur 2.
De omlooptijd van een ‘chopper wheel’ is begrensd omdat anders de krachten op het wheel te groot worden en het wheel uit elkaar vliegt. Voor een goede werking van een ‘chopper wheel’ moet de breedte van zowel een opening als van een dicht stuk minstens gelijk zijn aan de diameter van de laserstraal. Wetenschappers ontwierpen een ‘chopper wheel’ met een diameter van 14 cm met zoveel mogelijk openingen dat draait met een maximaal toelaatbare draaifrequentie van 1,0 kHz (duizend omwentelingen per seconde). De laserbundel heeft een dikte van 1,0 mm.
Vraag a. Bereken de minimale pulsduur die met behulp van dit ‘chopper wheel’ kan worden bereikt.
Om bij de gegeven diameter en maximale draaifrequentie de kleinste pulsduur te halen, moeten de breedte van de openingen en de dichte stukken aan de rand gelijk zijn aan 1,0 mm.
De omtrek van het wiel wordt gegeven door: $O=2\pi r$
Invullen geeft: $O=2\pi \cdot 0,070 = 0,44 \text{ m}$
Voor het aantal segmenten (openingen + dichte stukken) geldt dan:
$n=\frac{0,44}{1,0\cdot 10^{-3}}=4,4\cdot 10^{2}$
Voor de tijd van één rotatie van de schijf geldt:
$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1,0\cdot 10^{3}}=1,0\cdot 10^{-3} \text{ s}$
Voor de tijd die bij 1 segment hoort, geldt:
$T=\frac{1,0\cdot 10^{-3}}{4,4\cdot 10^{2}}=2,3\cdot 10^{-6} \text{ s}$
Vraag b. Bereken de grootte van de middelpuntzoekende versnelling op de rand van het ‘chopper wheel’.
De baansnelheid op de rand wordt gegeven door:
$v=\frac{2\pi r}{T}$
Invullen geeft:
$v=\frac{2\pi \cdot 0,070}{0,001}=4,4\cdot 10^{2} \text{ ms}^{-1}$
De middelpuntzoekende versnelling wordt gegeven door:
$a_{\text{mpz}}=\frac{F_{\text{mpz}}}{m}=\frac{(\frac{mv{2}}{r})}{m}=\frac{v^{2}}{r}$
En invullen in deze formule geeft:
$a_{\text{mpz}}=\frac{(4,4\cdot 10^{2})^{2}}{0,070}=2,7\cdot 10^{6} \text{ms}^{-2}=2,8\cdot 10^{5}\text{g}$
Een pulsduur kleiner dan een microseconde blijkt in de praktijk niet haalbaar met een ‘chopper wheel’. Een pulsduur die véél kleiner, is realiseert men met een ander principe. Daarbij laat men binnen de laser fotonen groepsgewijs tussen twee spiegels heen en weer gaan. Zie figuur 3.
De linker spiegel reflecteert alle fotonen, de rechter spiegel laat elke keer een klein deel door en reflecteert de rest. De doorgelaten fotonen vormen de laserpuls die naar buiten komt. De horizontale afmetingen van de opstelling in figuur 3 (dat wil zeggen de afstand tussen de spiegels, de positie van het blok fotonen en de lengte van het blok fotonen) zijn op schaal getekend.
Vraag c. Voer met behulp van figuur 3 de volgende opdrachten uit:
− Bepaal de verhouding van de pulsduur en de herhalingstijd.
− Bepaal de afstand tussen de spiegels als de pulsduur van de uittredende laserstraal 20 femtoseconde bedraagt.
-De verhouding tussen de tijden komt overeen met de verhouding tussen de afstanden.
De pulsduur komt overeen met de breedte van het fotonenblok
De fotonen bewegen héén en wéér, dus de herhalingstijd is twee maal de afstand tussen de spiegels. De verhouding tussen pulsduur en herhalingstijd wordt dus gegeven door:
$\frac{11}{2\cdot 70}=0,079$
De waarden 11mm en 70mm zijn afgelezen van de oorspronkelijke opdracht, op verschillende schermen kan de grootte van het plaatje verschillen. De verhouding tussen deze afstanden blijft echter hetzelfde.
-De lengte van de puls wordt gegeven door:
$l=ct$
Invullen geeft:
$l=3,0\cdot 10^{8} \cdot 20 \cdot 10^{-15}=6,0\cdot 10^{-6}\text{ m}$
De figuur is op schaal getekend, dus de verhouding tussen de spiegelafstand en de pulsbreedte is hetzelfde gebleven. De spiegelafstand wordt dus gegeven door:
$s=\frac{70}{11}\cdot 6,0\cdot 10^{-6} = 3,8\cdot 10^{-5}\text{ m}$
We beschouwen de uittredende gepulste laserbundel. Omdat elk foton zich in een pakketje bevindt, is de onbepaaldheid in de plaats waar hij zich bevindt gelijk aan de lengte van het pakketje. Dit is in figuur 4 weergegeven met Δx.
De eerste Heisenbergrelatie luidt (formule (1)):
$\Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$
Hieruit kan worden afgeleid dat de fotonen in het pakketje niet meer allemaal dezelfde golflengte hebben.
Vraag d. Laat dat zien.
Er geldt:
$\Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$
Als Δx groter dan 0 is, volgt hieruit dat Δp niet oneindig klein kan zijn. Dat wil zeggen dat niet alle fotonen dezelfde impuls hebben, omdat het verschil in impuls (Δp) groter is dan 0. Omdat impuls gerelateerd (omgekeerd evenredig) is aan golflengte:
$\lambda =\frac{h}{p}$
betekent dit dat er verschil in golflengte optreedt.
In de praktijk is het onmogelijk om de lengte van het pakketje fotonen te meten. Wel kan de tijdsduur van het pakketje worden bepaald. Om die reden gebruikt men in dit soort situaties vaak de zogenaamde tweede Heisenbergrelatie (formule (2)):
$\Delta E \Delta t \geq \frac{h}{4\pi}$
Hierin is EΔ de onbepaaldheid in de energie van het foton en tΔ de onbepaaldheid in de tijd.
Voor fotonen kan de tweede Heisenbergrelatie (formule(2)) afgeleid worden uit de eerste Heisenbergrelatie (formule (1)).
Vraag e. Geef deze afleiding.
Bij een foton geldt:
$E=hf=\frac{hc}{\lambda}=c\cdot \frac{h}{\lambda}=cp$
Er geldt dus ook:
$p=\frac{1}{c}\cdot E$
en:
$\Delta p=\frac{1}{c}\cdot \Delta E$
Verder wordt Δx gegeven door:
$\Delta x = c\cdot \Delta t$
Hieruit volgt:
$\Delta x \Delta p = \frac{1}{c}\cdot \Delta E \cdot c \cdot \Delta t=\Delta E \Delta t$
Invullen in formule (1) geeft formule (2)
Metingen van de golflengtes die in een gechopte laserstraal voorkomen zijn weergegeven in figuur 5. Daarbij is de pulsduur gelijk aan 20 femtoseconde.
Vraag f. Ga na met een bepaling of de uit figuur 5 af te leiden onbepaaldheid in de energie in overeenstemming is met de tweede Heisenbergrelatie. Aanwijzing: gebruik voor ΔE het verschil van de maximale en minimale fotonenergie; neem voor Δt de pulsduur.
Aflezen in figuur 5 levert: een maximale energie bij 770 nm en een minimale energie bij 870 nm.
Hieruit volgt:
$\Delta E = E_{\text{max}}-E_{\text{min}}=\frac{hc}{\lambda _{\text{max}}} - \frac{hc}{\lambda_{\text{min}}}$
Invullen van de afgelezen waarden geeft:
$\Delta E = \frac{6,63\cdot 10^{-34}\cdot 3,00 \cdot 10^{8}}{770\cdot 10^{-9}}-\frac{6,63\cdot 10^{-34}\cdot 3,00 \cdot 10^{8}}{870\cdot 10^{-9}}=3,0\cdot 10^{-20} \text{ J}$
En ook:
$\Delta E \Delta t = 3,0\cdot 10^{-20} \cdot 20\cdot 10^{-15}=6,0 \cdot 10^{-34}$
Bovendien geldt:
$\frac{h}{4\pi}=\frac{6,63\cdot 10^{-34}}{4\pi}=5,3\cdot 10^{-35} \leq 6,0 \cdot 10^{-34}$
Dus geldt:
$\Delta E \Delta t \geq \frac{h}{4\pi}$
