In 1905 stelde Einstein in zijn theorie van het foto-elektrisch effect dat het inderdaad om meetbare losse deeltjes gaat. Deze deeltjes kregen later de naam fotonen.
Het deeltjeskarakter van licht werd pas na veel weerstand door de natuurkundige wereld geaccepteerd. Zo heeft Millikan tot 1916 geprobeerd deze theorie te weerleggen. Einstein ontving voor zijn idee in 1921 de Nobelprijs. Het tijdperk van de quantumfysica was definitief aangebroken. Het heeft echter tot 1960 geduurd voordat men begreep dat het foto-elektrisch effect geen puur oppervlakteverschijnsel was, maar binnen in het metaal plaatsvindt.
Het foto-elektrisch effect wordt vaak aangetoond in een experiment zoals weergegeven in figuur 1. In zo’n experiment wordt de kathode in een vacuümbuis beschenen door een laser met een golflengte λ = 410 nm en een vermogen van P = 3,0 mW. Op de kathode komen dan elektronen vrij die naar de anode bewegen.
De stroomsterkte I in de kring wordt uitgezet tegen de spanning U. Zie figuur 2.
Als de spanning hoger is dan U = 2,0 V, bereiken alle vrijgemaakte elektronen de anode.
Vraag a. Beantwoord de volgende vragen: − Hoe is dit te zien in figuur 2? − Waarom bereiken bij een lagere spanning niet alle vrijgemaakte elektronen de anode?
Vanaf U = 2,0 V neemt de stroomsterkte niet meer toe als de spanning toeneemt. Voor waarden onder de U = 2,0 V is dat nog wel zo. De elektronen die de kathode verlaten, gaan alle kanten op. De anode trekt die elektronen aan maar voor net die elektronen die echt de verkeerde kant op gaan, is de aantrekkende spanning van de anode onvoldoende.
Niet elk foton dat op de kathode valt, maakt een elektron vrij. Daarom spreekt men over het quantumrendement ηQ van een fotokathode. Voor het quantumrendement geldt:
$\eta _{Q} = n_{e} / n_{f}$ (1)
Hierin is:
− nf het aantal fotonen dat per seconde het kathodeoppervlak treft;
− ne het aantal elektronen dat per seconde de kathode verlaat.
Voor de maximale stroomsterkte I geldt:
$I = \frac{\eta _{Q}\ e}{E_{f}}\ P_{licht}$ (2)
Hierin is:
− e elementair ladingsquantum;
− Plicht het vermogen van het opvallende licht;
− Ef de energie van een foton.
Vraag b. Leid formule (2) af met behulp van formule (1) en formules in BiNaS.
Voor het vermogen en voor de stroomsterkte vinden we respectievelijk
$P_{licht} = n_{f}E_{f}$
$I = n_{e}e$
dit combineren levert
$I = \eta _{Q}n_{f}e= \frac{ \eta _{Q}e}{E_{f}}P_{licht}$
Vraag c. Bepaal het quantumrendement ηQ van deze fotokathode.
We weten dat
$E_{f} = \frac{hc}{\lambda }$
Waarmee we vinden
$E_{f} = \frac{9,626 \cdot 10^{-34}\cdot 2,998\cdot 10^{8}}{410\cdot 10^{-9}} = 4,83 \cdot 10^{-19} J$
Dit komt overeen met 3,02 eV
Als we dat invullen in de voorgaande formule levert dat
$\eta _{Q}=\frac{I\cdot E_{f}(eV)}{P_{licht}}$
$\eta _{Q} = \frac{5,36\cdot 10^{-8}\cdot 3,02}{3,0\cdot 10^{-3}} = 5,4\cdot 10^{-5}$
Er zijn duizenden fotonen nodig voor het vrijmaken van één elektron. Toch vormt het foto-elektrisch effect een bewijs voor het individuele deeltjeskarakter van fotonen.
Vraag d. Leg uit waarom.
Voor het optreden van het foto-elektrisch effect hebben de fotonen een bepaalde minimale energie nodig. Als de energie van de individuele fotonen hieronder blijft, treedt geen enkel effect op. Ook niet als het om zeer veel fotonen gaat (dus bij heel hoge lichtintensiteit).
Chris wil weten hoe het komt dat het foto-elektrisch effect bij metalen zo’n laag quantumrendement ηQ heeft. Hij gebruikt hiervoor het model voor het foto-elektrisch effect dat in 1958 ontwikkeld is door de natuurkundige Spicer. Hierbij wordt het proces van het foto-elektrisch effect in de volgende vier stappen verdeeld:
- terugkaatsing van een foton aan het buitenoppervlak van het metaal
- absorptie van een foton door een elektron
- transport van het elektron naar het oppervlak
- ontsnappen van het elektron aan het oppervlak
Het proces is schematisch weergegeven in figuur 3.
In tabel 1 zijn karakteristieke waarden gegeven die Chris heeft gevonden voor de foto-elektrische deelprocessen van een fotokathode van koper, bestraald met fotonen van 4,8 eV.
Tabel 1: gegevens van het foto-elektrisch effect
Vraag e. Bereken met behulp van tabel 1 het quantumrendement ηQ van de fotokathode.
Om het rendement van het totale proces te bepalen, moeten de rendementen van de afzonderlijke stappen met elkaar vermenigvuldigd worden. Merk hierbij op dat in het schema soms de benodigde percentages staan en soms juist de percentages die je niet nodig hebt, bijvoorbeeld in stap 1 en 2. Bij de eerste stap wordt 40% gereflecteerd en is dus 60% bruikbaar, in de berekening zien we dit eterug als 1 - 0,4. Bij de tweede stap wordt 83% geabsorbeerd en is dus bruikbaar, dit zien we terug als 0,83. Alles bij elkaar zien we dan
$\eta _{Q} = (1-0,4)\cdot 0,83\cdot (1-0,8)\cdot 0,04\cdot (1-0,99) = 4\cdot 10^{-5}$
Als de fotonenergie toeneemt, stijgt het energieoverschot (Ef − Wu). Hierdoor wordt de opbrengst zowel bij stap 4a als bij stap 4b groter.
Dit leidt tot de regel van Fowler:
$\eta _{Q = k (E_{f}- W_{u})^{2}}$
Hierin is:
− k een materiaalconstante;
− (Ef − Wu) het energieoverschot uitgedrukt in eV.
Chris vindt in de literatuur een diagram waarin het quantumrendement ηQ van een bepaalde fotokathode uitgezet is tegen de golflengte van het opvallende licht. Zie figuur 4.
Vraag f. Voer de volgende opdrachten uit:
− Toon aan dat de fotokathode van koper is. Gebruik hierbij BiNaS.
− Bepaal de waarde van de constante k.
Voor het bepalen van het materiaal kijken we naar de grensgolflengte. In de figuur is te zien dat deze ligt bij λ = 277 nm. Dit komt overeen met de grensgolflengte van koper.
Wanneer we in de figuur kijken naar het rendement als functie van de golflengte, vinden we een rendement van 0,0004 bij een golflengte van 230 nm. We weten nu dat er geldt:
$\eta _{Q} = k \left ( E_{f} -W_{u}\right )^{2}$
waarbij
$E_{f} = \frac{1,24\cdot 10^{3}}{230} = 5,39 eV$
invullen geeft
$4\cdot 10^{-4} = k \left ( 5,39 - 4,48 \right )^{2}$
en dus
$k = 5\cdot 10^{-4}$
