In Greensboro, Amerika, staat een bijzonder golfslagbad waar om de paar minuten één reusachtige golfberg, een soliton, gemaakt wordt. Om zo’n golfberg te maken wordt met een elektrische pomp water uit het zwembad in een waterreservoir gepompt. Zie figuur 1.
Tijdens het vullen van het reservoir wordt een watervolume van 341 m3 in 136 s omhoog gepompt. Het zwaartepunt van het water in het reservoir komt daarbij 4,5 m boven het water in het zwembad te liggen.
De pomp heeft een elektrisch vermogen van 441 kW. De verandering van het waterniveau in het zwembad is tijdens het pompen te verwaarlozen.
Opgaven
a) Bereken het rendement van de pomp.
De klep van het reservoir wordt bediend met een hydraulische cilinder met zuigerstang. In figuur 2 is de klep in de beginstand getekend.
De totale massa van de klepstang met klep is 70 kg. Het zwaartepunt
hiervan is aangegeven met Z. In figuur 3 is de eindstand, op schaal, weergegeven
Als de klep een tijdje openstaat is het waterreservoir leeg.
b) Bepaal met behulp van een print van figuur 3 de kracht die de zuigerstang dan op de klepstang uitoefent.
In de natuurkunde wordt een enkele golfberg een soliton genoemd. De soliton die in het golfslagbad ontstaat is in figuur 4 schematisch weergegeven. Hierin is A de amplitude van de soliton, d de waterhoogte van het stilstaande water en v de snelheid van de soliton.
Het verband tussen de snelheid v, de waterhoogte d en de amplitude A is:
$v^2=g(d+A)$ ,
waarbij g de valversnelling is.
c) Beredeneer hoe de amplitude van een soliton verandert als deze golfberg met een constante snelheid in een ondieper gedeelte van het bad komt.
Een soliton kan alleen bestaan als de amplitude kleiner is dan (0,78 d).
Bij een grotere amplitude breekt de golf, zoals dat in de branding van de zee ook gebeurt. De waterhoogte in het golfslagbad is 4,0 m.
d) Bereken de maximale snelheid van de soliton in het diepe deel van het golfslagbad.
De snelheid van de golf kan op twee manieren bepaald worden:
- met de tijd die de soliton nodig heeft om een horizontale afstand af te leggen;
- met v2 = g(d+A).
In figuur 5 is de plaats van de soliton op twee verschillende tijdstippen langs de wand van het zwembad getekend. De tegels van het zwembad hebben een hoogte van 20 cm en een breedte van 40 cm.
e) Bepaal de snelheid van de soliton op de twee genoemde manieren. Gebruik hierbij de metingen in figuur 5.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Voor het rendement geldt:
$\eta = \frac{W}{E_e}\cdot 100\%$
Hierin is W de arbeid die de pomp verricht heeft. Deze is gelijk aan de zwaarte-energie:
$W=E_z=mgh=341\cdot 0,998 \cdot 10^3 \cdot 9,81\cdot 4,5=1,50\cdot 10^7~\mathrm{J}$
De elektrische energie die de pomp verbruikt is gelijk aan:
$E_e=P_e\cdot t = 441\cdot 10^3 \cdot 136=5,9976\cdot 10^7~\mathrm{J}$
Het rendement van de pomp is dan:
$\eta=\frac{W}{E_e}\cdot 100\%=\frac{1,50\cdot 10^7}{5,9976\cdot 10^7}\cdot 100\%=25\%$
Uitwerking vraag (b)
We moeten gebruik maken van de momentenwet. Teken daarvoor eerst in de print van figuur 3 de krachten, de werklijnen van de krachten en de armen. Zie onderstaande afbeelding:
De 2 armen kunnen opgemeten worden. Ik heb gevonden (let op, dit kan per computer verschillen!):
rz = 22 mm
rzuigerstang = 44 mm
Voor de kracht van de zuigerstang geldt dan:
$\displaylines{\begin{aligned}\\ F_z\cdot r_z=F_{zuigerstang}\cdot r_{zuigerstang} \\ F_{zuigerstang} &= \frac{r_z}{r_{zuigerstang}}\cdot F_z=\frac{22}{44}\cdot 70\cdot 9,81=3,4\cdot 10^2~\mathrm{N}\end{aligned}}$
Uitwerking vraag (c)
Als de snelheid constant is, moet (d+A) wel constant zijn. De valversnelling g is immers ook constant. In het ondieper gedeelte van het bad is d kleiner, en dan moet de amplitude A dus groter zijn.
Uitwerking vraag (d)
Invullen geeft:
$v=\sqrt{g(d+A)}=\sqrt{9,81\cdot (4,0 + 0,78\cdot 4,0)}=8,4~\mathrm{ms}^{-1}$
Uitwerking vraag (e)
Manier 1:
Tussen de 2 toppen tel ik 25 hokjes. De afgelegde afstand is dan 25 * 0,40 = 10 m. Deze afstand wordt afgelegd in 1,22 s. Dit geeft een snelheid van:
$v=\frac{s}{t}=\frac{10}{1,22}=8,2~\mathrm{ms}^{-1}$
Manier 2:
De hoogte van de soliton is 14 hokjes. De amplitude is dan A = 14 * 0,20 = 2,80 m. Invullen (met een diepte van 4,0 m) geeft:
$v=\sqrt{g\cdot(d+A)}=\sqrt{9,81\cdot (4,0 + 2,80)}=8,2~\mathrm{ms}^{-1}$
