Lees onderstaand artikel:
Binnen niet al te lange tijd is het mogelijk om een commerciële ruimtevlucht te maken. Twee bedrijven, het Amerikaanse Virgin Galactic en het Nederlandse Space Expedition Corporation (SXC), zijn daar volop mee bezig.
De XCOR Lynx van SXC stijgt met twee astronauten op van de grond. ‘Op 60 km gaan de motoren uit en val je als het ware omhoog tot 103 km. Vervolgens val je weer 43 km tot de motoren weer aangaan. Dat is de periode dat je gewichtloos bent’ volgens van Pelt van SXC. ‘Dat duurt zo’n 3 a 4 minuten’. Op het moment dat de motoren uitgaan heeft het ruimteschip een maximale vertikale snelheid van Mach 2,9.
Betaalbaar? Aan de tickets van SXC hangt een prijskaartje van 76.000 Euro. Voor de modale Nederlander is dit (nog) niet haalbaar, maar wel voor bijvoorbeeld Jordi Ollebek uit Goirle die een gratis kaartje won.
Bron: Gelderlander, 18 januari 2014
a) Waarom zijn astronauten in de periode van de vrije val gewichtloos?
b) Bereken de grootte van de valversnelling g op 60 en 103 km hoogte boven het aardoppervlak. Gebruik hiervoor de gravitatiewet van Newton.
c) Vergelijk deze waarden met elkaar en met de waarde van g op het aardoppervlak. Is er veel verschil?
d) Welke gemiddelde waarde voor g mag je tussen 60 en 103 km aannemen?
e) Bereken met de gegevens voor snelheid en hoogte de gemiddelde waarde van g en de waarde van de vrije valtijd. Neem voor Mach 1 een snelheid van 340 m/s.
f) Beredeneer dat de waarde voor Mach 1 op die hoogte kleiner is dan 340 m/s.
Uitwerking vraag (a)
Zowel de astronauten als het ruimteschip bewegen onder invloed van alleen de zwaartekracht. Ze oefenen geen kracht uit op het ruimteschip en zijn dus gewichtloos.
Uitwerking vraag (b)
Voor g geldt:
$g=\frac{GM}{R^2}$
Hierin is:
- G de gravitatieconstante: G = 6,67 * 10-11 Nm2kg-2
- M de aardmassa: M = 6,0 * 1024 kg
- R de afstand tot het aardmiddelpunt: R = Ra + h = 6,38 * 106 + h
- En h = 6,0 * 104 m en 1,03 * 105 m.
Dit geeft:
Voor 60 km: g = 9,65 m/s2.
Voor 103 km: g = 9,53 m/s2.
Uitwerking vraag (c)
Op het aardoppervlak geldt: g = 9,8 m/s2. Het verschil is ongeveer 2 % dus dat valt wel mee.
Uitwerking vraag (d)
Een gemiddelde waarde van 9,6 m/s2 is redelijk.
Uitwerking vraag (e)
Beginsnelheid v = Mach 2,9 = 2,9 x 340 m/s = 986 m/s.
De afstand s = 40,3 km = 4,3 * 104 m.
Nu geldt:
$s=\frac{1}{2}at^2~\mathrm{en}~v=g\cdot t$
Hieruit volgt:
$g=\frac{v^2}{2s}=\frac{986^2}{2\cdot 4,3\cdot 10^4}=11,3~\mathrm{ms}^{-2}$
g = v2/2s = 9862 / 2 x 4,3.104 = 11,3 m/s2.
Voor de valtijd geldt:
$T=2\cdot\left(\frac{v}{g}\right)=2\cdot\frac{986}{11,3}=175~\mathrm{s}=2,9~\mathrm{minuten}$
Uitwerking vraag (f)
De vrije valtijd was geschat op een minuut of 3 á 4. De berekening valt lager uit.
De valversnelling g is in de berekening duidelijk te hoog (11,3 versus 9,6). Dit is een afwijking van bijna 20 %. Het lijkt erop dat de geluidsnelheid op die hoogte niet gelijk is aan die op aarde, maar kleiner vanwege de lagere temperatuur. Dat betekent dat v kleiner wordt, en daardoor g kleiner en T groter.
